Molteplicità algebrica,autovalori,autovettori,autospazi
Salve a tutti,
ho una matrice $ 3x3 $ e ho calcolato gli autovalori tramite il metodo di Sarrus.
$ - \lambda^3 + \lambda^2 = 0 $
cioè
$ \lambda^3 - \lambda^2 = 0 $
cioè
$ \lambda^2 (\lambda -1) = 0 $
i due autovalori trovati sono:
$ \lambda = 0 $
e
$\lambda = 1 $
ora come si calcola la molteplicità algebrica?
ho una matrice $ 3x3 $ e ho calcolato gli autovalori tramite il metodo di Sarrus.
$ - \lambda^3 + \lambda^2 = 0 $
cioè
$ \lambda^3 - \lambda^2 = 0 $
cioè
$ \lambda^2 (\lambda -1) = 0 $
i due autovalori trovati sono:
$ \lambda = 0 $
e
$\lambda = 1 $
ora come si calcola la molteplicità algebrica?
Risposte
Ciao
Sicuramente saprai che un equazione di terzo grado ammette al massimo 3 radici (eventualmente nel campo dei numeri complessi), alcune radici possono essere ripetute e il numero di volte che compare come soluzione si chiama molteplicità algebrica. Nel tuo caso 0 è una radice di molteplicità algebrica 2.
https://it.wikipedia.org/wiki/Radice_(matematica)#Molteplicit.C3.A0_di_una_radice
Sicuramente saprai che un equazione di terzo grado ammette al massimo 3 radici (eventualmente nel campo dei numeri complessi), alcune radici possono essere ripetute e il numero di volte che compare come soluzione si chiama molteplicità algebrica. Nel tuo caso 0 è una radice di molteplicità algebrica 2.
https://it.wikipedia.org/wiki/Radice_(matematica)#Molteplicit.C3.A0_di_una_radice
la molteplicità algebrica è il numero che esprime quante volte l'autovalore annulla il polinomio caratteristico.
io ora ho $ \lambda^2(\lambda-1)=0 $
ad occhio si vede che se sostituisco $ 1 $ nella parentesi, il polinomio si annulla.
per $ 0 $ come si procede? perchè ha molteplicità algebrica $ =2 $ ?
io ora ho $ \lambda^2(\lambda-1)=0 $
ad occhio si vede che se sostituisco $ 1 $ nella parentesi, il polinomio si annulla.
per $ 0 $ come si procede? perchè ha molteplicità algebrica $ =2 $ ?
perché $lambda ^2 (lambda -1) = lambda * lambda *(lambda -1) $ ,quindi $lambda =1 $ è una radice semplice mentra $lambda=0 $ è una radice doppia .OK?
si adesso ho capito.
ora come calcolo gli autovettori e gli autospazi ?
$ ( ( 1 , 3 , 1 ),( 3 , 9 , 3 ),( 1 , 3 , 1 ) ) * ( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
ora come calcolo gli autovettori e gli autospazi ?
$ ( ( 1 , 3 , 1 ),( 3 , 9 , 3 ),( 1 , 3 , 1 ) ) * ( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
Ciao!
Dato $det(A-lambda I_3)=( ( 1-lambda, 3 , 1 ),( 3 , 9-lambda , 3 ),( 1 , 3, 1-lambda ) )$,
per $lambda_1=0$, poni nella matrice $lambda=0$, e per $lambda_2=1$ sostituisci a $lamda$ il valore $1$; in entrambi i casi moltiplichi per $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ e trovi gli autovettori relativi agli autovalori $lambda_1, lambda_2$.
"chry11":
si adesso ho capito.
ora come calcolo gli autovettori e gli autospazi ?
$ ( ( 1 , 3 , 1 ),( 3 , 9 , 3 ),( 1 , 3 , 1 ) ) * ( ( x ),( y ),( z ) ) = ( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $
Dato $det(A-lambda I_3)=( ( 1-lambda, 3 , 1 ),( 3 , 9-lambda , 3 ),( 1 , 3, 1-lambda ) )$,
per $lambda_1=0$, poni nella matrice $lambda=0$, e per $lambda_2=1$ sostituisci a $lamda$ il valore $1$; in entrambi i casi moltiplichi per $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ e trovi gli autovettori relativi agli autovalori $lambda_1, lambda_2$.
per $ \lambda=0 $
ho : $ { ( x+3y+z=0 ),( 3x+9y+3z=0 ),( x+3y+z=0 ):} $
quindi ho la stessa equazione in tutte e tre le equazioni, cioè $ x+3y+z=0 $
come procedo? quali sono gli autovettori? e gli autospazi?
ho : $ { ( x+3y+z=0 ),( 3x+9y+3z=0 ),( x+3y+z=0 ):} $
quindi ho la stessa equazione in tutte e tre le equazioni, cioè $ x+3y+z=0 $
come procedo? quali sono gli autovettori? e gli autospazi?
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