Autovettori e autospazi

[asder83]

per λ=0
ho : $ { ( x+3y+z=0 ),( 3x+9y+3z=0 ),( x+3y+z=0 ):} $
quindi ho la stessa equazione in tutte e tre le equazioni, cioè $ x+3y+z=0 $
come procedo? quali sono gli autovettori? e gli autospazi?

[Sk_Anonymous]

Ciao.

In sostanza si ottiene che $z=-x-3y$, quindi si ottengono dei vettori del tipo

$(x,y,-x-3y)=x(1,0,-1)+y(0,1,-3)$

che generano l'autospazio associato all'autovalore nullo.

Siccome i vettori $(1,0,-1),(0,1,-3)$ sono chiaramente linearmente indipendenti, l'autospazio ha dimensione pari a due e i due vettori costituiscono una base dell'autospazio stesso.

Saluti.

[asder83]

grazie per la risposta.
quali sono i calcoli per $ \lambda=1 $ ?

[Sk_Anonymous]

"chry11":grazie per la risposta.
quali sono i calcoli per $ \lambda=1 $ ?

In questo caso si deve risolvere il sistema

$ { ( x+3y+z=x ),( 3x+9y+3z=y ),( x+3y+z=z ):} $

A te i conti.

Saluti.

[asder83]

ho provato a risolverlo e mi trovo:
$ x=0 $
$ y=0 $
$ z=0 $
è giusto?
come procedo?

[Sk_Anonymous]

Risulta anche a me la soluzione nulla come unica soluzione.

Allora, all'autovalore $lambda=1$ risulterebbe associabile unicamente il vettore nullo, che non genera alcun autospazio; l'unico spazio che può generare il vettore nullo è quello banale.

Dalla definizione di autovettore, normalmente, si esclude il fatto che questo possa essere nullo.

Saluti.