Esercizio su dimensione sottospazio (domanda semplicissima)

[Drew95]

Ciao a tutti,
Ho una domanda molto semplice su un punto di un esercizio che sto svolgendo. Il testo è il seguente:

Sia $W$ e $U$ sottospazio di $RR^4$. Sia $W$ definito da $W= {(x_1,x_2,x_3,x_4) in RR^4 : x_1+x_2-x_3=0}$ e sia $dimU=2$

-Calcolare dimensione $W$
-Può essere $RR^4=U o+ W$

Tentativo di risoluzione:
Ho già eliminato tutte le richieste dell'esercizio di cui sono sicuro del risultato e che ho già svolto. Non sono sicuro se la dimensione di W sia 2 o 3 e per quanto riguarda il punto successivo credo si debba usare il teorema di grassman e se la dimensione dell'intersezione dei due piani viene 0 allora vi è la somma diretta

Grazie a tutti per l'aiuto

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Dato $W= {(x_1,x_2,x_3,x_4) in RR^4 : x_1+x_2-x_3=0}$, si ricava che $x_3=x_1+x_2$, quindi

$W= {(x_1,x_2,x_1+x_2,x_4) in RR^4 : x_1,x_2,x_4 in RR}={x_1(1,0,1,0)+x_2(0,1,1,0)+x_4(0,0,0,1)}$

cioè

$W= mathcalL{(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1)}$

Si verifica facilmente che i vettori $(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,0,1)$ sono linearmente indipendenti, per cui vale

$dimW=3$.

Ora di $U$ si conosce solo il fatto che è un sottospazio vettoriale di $RR^4$ con $dimU=2$.

E' nota la formula di Grassmann

$dim(U+W)=dimU+dimW-dim(U nn W)$

Nel caso qui trattato si ha

$dim(U+W)=2+3-dim(U nn W)=5-dim(U nn W)$

Si noti che dovrà valere $dim(U+W)<=4$, perchè $U$ e $W$ sono sottospazi vettoriali di $RR^4$, ma, contemporaneamente, siccome vale $dimW=3$, si ha $dim(U+W)>=3$.

Quindi i casi possibili sono solamente due:

1) $dim(U+W)=4 Rightarrow dim(U nn W)=1$

2) $dim(U+W)=3 Rightarrow dim(U nn W)=2$

In ogni caso, perciò, è impossibile avere $RR^4=U o+ W$.

Saluti.

[Drew95]

Tutto chiarissimo,
Grazie mille

[Sk_Anonymous]

Di nulla.

Lieto di essere stato utile.

Saluti.