Applicazioni Lineari
Ciao a tutti, qualcuno per caso può chiarirmi un dubbio su questo esercizio, per favore?
" Discutere l’esistenza e unicità di applicazioni lineari $f_h: RR^2->RR^3$ tali che:
$f_h ((1),(1)) = ((1),(0),(0))$
$f_h ((h),(1)) = ((0),(1),(2))$
$f_h ((h-1),(0)) = ((-1),(1),(h))$
con $h$ parametro reale".
__
Solitamente per discutere l'esistenza ed unicità calcolo il determinante per verificare che i vettori siano linearmente indipendenti, ma dato che mi verrebbe una matrice 2x3 non posso farlo; quindi devo accoppiarli due a due, giusto? così facendo in tutti e tre i casi mi esce lo stesso determinante: $1-h$ quindi le applicazioni esistono e sono uniche se $h!=1$.
è corretto?
Grazie
" Discutere l’esistenza e unicità di applicazioni lineari $f_h: RR^2->RR^3$ tali che:
$f_h ((1),(1)) = ((1),(0),(0))$
$f_h ((h),(1)) = ((0),(1),(2))$
$f_h ((h-1),(0)) = ((-1),(1),(h))$
con $h$ parametro reale".
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Solitamente per discutere l'esistenza ed unicità calcolo il determinante per verificare che i vettori siano linearmente indipendenti, ma dato che mi verrebbe una matrice 2x3 non posso farlo; quindi devo accoppiarli due a due, giusto? così facendo in tutti e tre i casi mi esce lo stesso determinante: $1-h$ quindi le applicazioni esistono e sono uniche se $h!=1$.
è corretto?
Grazie
Risposte
Ciao.
Per verificare l'indipendenza lineare di vettori le cui righe (o colonne) formano matrici non quadrate, basta calcolare il rango della matrice stessa e verificare che tale rango coincida con il numero dei vettori.
Ci sono varie tecniche per il calcolo del rango di una matrice, tra le quali il criterio dei minori e l'algoritmo di Gauss.
Saluti.
Per verificare l'indipendenza lineare di vettori le cui righe (o colonne) formano matrici non quadrate, basta calcolare il rango della matrice stessa e verificare che tale rango coincida con il numero dei vettori.
Ci sono varie tecniche per il calcolo del rango di una matrice, tra le quali il criterio dei minori e l'algoritmo di Gauss.
Saluti.
ah ho capito! ok, usando il criterio dei minori ottengo rango 2 per $h!=1$ che il rango massimo, quindi esiste unico. giusto?
"kika_17":
ah ho capito! ok, usando il criterio dei minori ottengo rango 2 per $ h!=1 $ che il rango massimo, quindi esiste unico. giusto?
Ciao.
Di quale matrice hai calcolato il rango?
Da quali vettori è formata?
Saluti.
$ A= ((1,h,h-1),(1,1,0))$
Il discorso sul rango, allora, è giusto.
Saluti.
P.S.
Immagino che con "esiste unico" si alluda al fatto che sia unico il modo di annullare la combinazione lineare formata dai vettori in questione.
Saluti.
P.S.
"kika_17":
ah ho capito! ok, usando il criterio dei minori ottengo rango 2 per $ h!=1 $ che il rango massimo, quindi esiste unico. giusto?
Immagino che con "esiste unico" si alluda al fatto che sia unico il modo di annullare la combinazione lineare formata dai vettori in questione.
mi chiede di discutere l'esistenza ed unicità dell'applicazione lineare $f_h$ al variare del parametro $h$, dato che non ottengo una matrice quadrata invece che usare il determinante uso il rango -come mi hai detto tu- e dato che ottengo il rango = 2 solo se $h!=1$ allora concludo che l'applicazione lineare citata nel testo esiste ed è unica sse $h!=1$. se non sbaglio...
Grazie mille
Grazie mille
Ah...
Allora dovresti vedere se esiste, al variare di $h$, una matrice $A_{f_h} in M(3 xx 2;RR)$, quindi del tipo
$A_{f_h}=((a,b),(c,d),(e,f))$
tale che valgano
$((a,b),(c,d),(e,f))((1),(1))=((1),(0),(0))$
$((a,b),(c,d),(e,f))((h),(1))=((0),(1),(2))$
$((a,b),(c,d),(e,f))((h+1),(0))=((-1),(1),(h))$
Dalla prima condizione, che non dipende da $h$, si arriva a dedurre che la matrice da cercare sia del tipo
$A_{f_h}=((a,1-a),(c,-c),(e,-e))$
Saluti.
Allora dovresti vedere se esiste, al variare di $h$, una matrice $A_{f_h} in M(3 xx 2;RR)$, quindi del tipo
$A_{f_h}=((a,b),(c,d),(e,f))$
tale che valgano
$((a,b),(c,d),(e,f))((1),(1))=((1),(0),(0))$
$((a,b),(c,d),(e,f))((h),(1))=((0),(1),(2))$
$((a,b),(c,d),(e,f))((h+1),(0))=((-1),(1),(h))$
Dalla prima condizione, che non dipende da $h$, si arriva a dedurre che la matrice da cercare sia del tipo
$A_{f_h}=((a,1-a),(c,-c),(e,-e))$
Saluti.
ok, grazie
Di nulla.
Saluti.
Saluti.
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