Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti
Mi trovo a dover risolvere un esercizio e avendo perso gran parte delle lezioni sul tema non so da che parte cominciare.
Mi viene chiesto di studiare il sottospazio di R2 con la topologia euclidea :
X = {(x, y) ∈ R 2| (x^2 − y + 1)*(x^2 + y − 1) = 0}.
In particolare devo capire se è connesso, compatto e di Hausdorf, e stesse domande sul suo complementare.
Ora il dubbio è che non so come trattare lo spazio a partire da quella equazione. Altri quesiti che non so risolvere ...
Ho verificato che
$Z={A in M2(R) : A=A^T}$ è un sottospazio vettoriale
come la trovo una base?
${(1,-1,0),(2,1,-2),v}$ in $R3$
scrivere il vettore $v$.
Ciao, ho fatto tanti esercizi sui SSV ma di questo tipo non me ne era mai capitato, quindi sono un po' confusa.
Considerato lo spazio vettoriale dei polinomi di \(\displaystyle R^2[t] \) determinare per quali valori di k il seguente insieme di polinomi è un SSV di\(\displaystyle R^2[t] \) ed in tal caso se ne calcoli la dimensione.
\(\displaystyle {(k-1)t^2+(k+2)t} \)
Mi viene da rispondere istintivamente che è SSV di R^2[t] per valori di k diversi da 1, perché se k è 1 mi si annulla il ...
Se $W$ è sottospazio di $V$, è possibile che $dimW<dimV$?
se si, scrivere un esempio.
se no, dire perchè.
Avendo due rette sghembe $s$ e $r$ di cui si conoscono le equazioni e un punto dato $P$ , e volendo trovare la retta $l$ passante per $P$ e che intersechi $r$ e $s$, è corretto il seguente procedimento?
Scrivere un punto generico $ Ain s $ ricavandolo dalle equazioni di $s$ che avrà dunque tutte le coordinate in funzione di x, y, oppure z a scelta. Stessa cosa per un generico ...
Ciao a tutti, potreste gentilmente aiutarmi a capire come trovare gli autovalori di una matrice 3x3; ad esempio: $ ( ( -4 , 0 , 1 ),( -3 , 2 , -1 ),( -9 , 0 , 2 ) ) $
Calcolo il determinante, ma ottengo un'equazione di 3° grado, del tipo: $ -lambda^3 + 12lambda - 7 = 0 $
Come la risolvo?
Grazie in anticipo
Salve,
ho questo esercizio da risolvere:
determinare la conica tangente gli assi x,y rispettivamente nei punti (2,0), (0,3) e passante per il punto P(-1,3).
Ho pensato di procedere così:
1) mettere a sistema la conica generica $a_11 x^2 + 2a_12 xy + a_22 y^2 + 2a_01 x + 2a_02 y + a_00 = 0$ e l'asse x e imporre il passaggio per (2,0), ottengo l'equazione della conica in funzione di 2 parametri:
${-4_01 - a_00} / 4 x^2 + 2a_01 x + a_00 = 0$
2) mettere a sistema la conica generica $a_11 x^2 + 2a_12 xy + a_22 y^2 + 2a_01 x + 2a_02 y + a_00 = 0$ e l'asse y e imporre il passaggio per (0,2), ottengo l'equazione ...
Sia $V$ lo spazio vettoriale delle matrici $2x2$ e sia $W$ il sottoinsieme di $V$ costituito dalle matrici $((a,b),(c,d))$ tali che $a+b+c=0$. Provare che $W$ è un sottospazio di $V$ e calcolarne la dimensione.
ALLORA:
Siano $v_1,v_2$ $in$ $W$ dove:
$v_1= $ $((a_1,b_1),(c_1,d_1))$ ; $v_2= $ $((a_2,b_2),(c_2,d_2))$ QUINDI: ...
Ciao a tutti
nel corso di Algebra Lineare, il professore ha accennato in un paio di casi alle varietà lineari, dandone prima una definizione e poi, nello svolgersi delle lezioni, ne ha fatto qualche esempio man mano che sviluppavamo la teoria.
Questa è la definizione iniziale che ci ha dato:
'' Per un qualunque sottospazio $ U sube R^n $, indichiamo con $ v + U : { v+u | u in U} $ la varietà lineare, dove $ U $ è definito lo SPAZIO DIRETTORE "
e subito dopo ci ha dato una proposizione ...
questa è la matrice:
$ A = ( ( 5 , 0 , 5 ),( 0 , 0 , 0 ),( 5 , 0 , 5 ) ) $
i due autovalori sono:
$\lambda=0$
$\lambda=10$
la matrice è diagonalizzabile.
i) Scrivere una forma diagonale $D$ della matrice.
ii) Scrivere una matrice $P$ tale che $D=P^(-1)*A*P$
Sia $T: V -> W$ un applicazione lineare tale che $Ker$ $T = {0_v}$. Provare che $T$ è iniettiva.
Allora: se il nucleo di $T$ contiene solo il vettore nullo, vuol dire che il sistema omogeneo associato a $W$ ammette solo la soluzione banale, quindi vuol dire che i vettori, che compongono $W$, sono linearmente dipendenti... giusto?
Però faccio a dimostrarlo?
Esistono sottospazi di dimensione 2 nello spazio vettoriale R3 ?
Se si, se ne scriva uno.
Se no, si spieghi perchè.
Ciao,
potete dirmi che legame c'è tra determinante e rango?
$f:R4->R3$ tale che$ f(x,y,z,t)=(x-t,-x+t,8y+3z)$
Ho provato a svolgerlo così:
$ ( ( 1 , 0 , 0 , -1 ),( -1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 8 , 3 , 0 ) ) $
e ho trovato che il $rango=2$, infatti $ ( ( 1 , 0 , 0 , -1 ),( 0 , 8 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $
$rango=2$ quindi $dim(Im(f))=2$
e per trovare una base per l'immagine ho considerato le colonne dove ci sono i pivot e quindi ho preso i vettori $(1,-1,0),(0,0,8)$
ora dal teorema della dimensione ho ricavato $dim(ker(f)$
ovvero $dim(R4)=dim(ker(f))+dim(Im(f)) $ cioè $ 4=2+2$
ne deduco che l'applicazione non è iniettiva nè ...
Studiare la diagonalizzabilità della matrice: $ ( ( 1 , -1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Se la matrice è diagonalizzabile, determinarne una base di autovettori.
con il metodo di Sarrus ho cercato il determinante:
$ {: ( 1-\lambda , -1 , 0 , 1-\lambda , -1 , 0 ),( -1 , 1-\lambda , 0 , -1 , 1-\lambda , 0 ),( 0 , 0 , 2-\lambda , 0 , 0 , 2-\lambda ) :} $
e mi trovo $2\lambda^2-3\lambda-2=0$
ho applicato ruffini:
$(\lambda-2)(\lambda+1)=0$
quindi i due autovalori sono $\lambda=-1$ e $\lambda=2$
ho calcolato la molteplicità algebrica di entrambi gli autovalori e la loro somma è $1+1=2$ e ne ho dedotto che la matrice non è ...
Ciao a tutti... mi aiutate un attimo a capire questa cosa?
Allora io ho un'applicazione lineare
\(\displaystyle F: R^2 -> R^3 \)tale che
\(\displaystyle F(e1)=e2+e3 \)
\(\displaystyle F(e2)=2e1-e2+e3 \)
(Dove e1, e2 sono i vettori della base canonica di \(\displaystyle R^2 \) ed e1, e2, e3 sono i vettori della base canonica di \(\displaystyle R^3 \))
Voglio determinare \(\displaystyle F(x,y) \) per un generico vettore di \(\displaystyle R^2 \).
Il mio libro dice di usare la proprietà di ...
Domende di teoria
1) Quanti tipi di dimensione esistono?
(Dimensione della matrice? Dimensione dello spazio vettoriale? Dimensione del sottospazio vettoriale? Dimensione del nucleo? Dimensione dell'immagine? Dimensione per lo spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo?)
2) Quali di queste dimensioni coincidono con il rango della matrice corrispondente?
ho notato che in alcuni esercizi rango e dimensione sono uguali, in altri no. Chi può spiegarmi tutto nei dettagli?
Ciao, ho questo esercizio:
Considerato il sottoinsieme di \(\displaystyle M_2(R) \) \(\displaystyle W \)=${A in M_2(R) | a-2b=0; b-1/2d=0}$ dire se W è sottospazio di \(\displaystyle M_2(R) \) ed in caso affermativo se ne calcoli la dimensione.
Ora, svolgendo il sistema dato dalle due equazioni so che W è definito da tutte le matrici della forma $ ((d,1/2d), (c,d))$
Per trovare la dimensione cosa faccio? Posso concludere che è di dimensione 2 in quanto la matrice è definita da due "parametri liberi", cioè c e ...
Ciao a tutti,
Ho una domanda molto semplice su un punto di un esercizio che sto svolgendo. Il testo è il seguente:
Sia $W$ e $U$ sottospazio di $RR^4$. Sia $W$ definito da $W= {(x_1,x_2,x_3,x_4) in RR^4 : x_1+x_2-x_3=0}$ e sia $dimU=2$
-Calcolare dimensione $W$
-Può essere $RR^4=U o+ W$
Tentativo di risoluzione:
Ho già eliminato tutte le richieste dell'esercizio di cui sono sicuro del risultato e che ho già svolto. Non sono sicuro se la ...
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