Geometria e Algebra Lineare

Ciao ragazzi mi aiutate a capire lo svolgimento dei seguenti quesiti? Grazie mille Stabilire se i vettori u=(1,0,2,1), v=(0,1,1,-1), w=(1,-1,1,2) sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti usando: a) La definizione b) Le trasformazioni elementari c) Detta A la matrice che ha per colonne i tre vettori dire, senza fare ulteriori calcoli, quanto vale il rango di A d) Detta A la matrice che ha per colonne i tre vettori trovare l’inversa di A usando i complementi algebrici e le ...

Scrivere un'applicazione lineare $T: R^3->R^2 : (1,6,0) $ appartenga al nucleo di $T$

Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $5$; siano $U$ e $W$ due sottospazi di $V$ entrambi di dimensione $3$. Determinare $dim$ $(U$ $nn$ $W)$. Allora per la relazione di grassmann $dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-$ $dim$ $(U$ $nn$ $W)$ io conosco la dimensione di $U$ e $W$. Quindi ...

Salve a tutti Mi trovo a dover risolvere un esercizio e avendo perso gran parte delle lezioni sul tema non so da che parte cominciare. Mi viene chiesto di studiare il sottospazio di R2 con la topologia euclidea : X = {(x, y) ∈ R 2| (x^2 − y + 1)*(x^2 + y − 1) = 0}. In particolare devo capire se è connesso, compatto e di Hausdorf, e stesse domande sul suo complementare. Ora il dubbio è che non so come trattare lo spazio a partire da quella equazione. Altri quesiti che non so risolvere ...

Ho verificato che $Z={A in M2(R) : A=A^T}$ è un sottospazio vettoriale come la trovo una base?

${(1,-1,0),(2,1,-2),v}$ in $R3$ scrivere il vettore $v$.

Ciao, ho fatto tanti esercizi sui SSV ma di questo tipo non me ne era mai capitato, quindi sono un po' confusa. Considerato lo spazio vettoriale dei polinomi di \(\displaystyle R^2[t] \) determinare per quali valori di k il seguente insieme di polinomi è un SSV di\(\displaystyle R^2[t] \) ed in tal caso se ne calcoli la dimensione. \(\displaystyle {(k-1)t^2+(k+2)t} \) Mi viene da rispondere istintivamente che è SSV di R^2[t] per valori di k diversi da 1, perché se k è 1 mi si annulla il ...

Se $W$ è sottospazio di $V$, è possibile che $dimW<dimV$? se si, scrivere un esempio. se no, dire perchè.

Avendo due rette sghembe $s$ e $r$ di cui si conoscono le equazioni e un punto dato $P$ , e volendo trovare la retta $l$ passante per $P$ e che intersechi $r$ e $s$, è corretto il seguente procedimento? Scrivere un punto generico $ Ain s $ ricavandolo dalle equazioni di $s$ che avrà dunque tutte le coordinate in funzione di x, y, oppure z a scelta. Stessa cosa per un generico ...

Ciao a tutti, potreste gentilmente aiutarmi a capire come trovare gli autovalori di una matrice 3x3; ad esempio: $ ( ( -4 , 0 , 1 ),( -3 , 2 , -1 ),( -9 , 0 , 2 ) ) $ Calcolo il determinante, ma ottengo un'equazione di 3° grado, del tipo: $ -lambda^3 + 12lambda - 7 = 0 $ Come la risolvo? Grazie in anticipo

Salve, ho questo esercizio da risolvere: determinare la conica tangente gli assi x,y rispettivamente nei punti (2,0), (0,3) e passante per il punto P(-1,3). Ho pensato di procedere così: 1) mettere a sistema la conica generica $a_11 x^2 + 2a_12 xy + a_22 y^2 + 2a_01 x + 2a_02 y + a_00 = 0$ e l'asse x e imporre il passaggio per (2,0), ottengo l'equazione della conica in funzione di 2 parametri: ${-4_01 - a_00} / 4 x^2 + 2a_01 x + a_00 = 0$ 2) mettere a sistema la conica generica $a_11 x^2 + 2a_12 xy + a_22 y^2 + 2a_01 x + 2a_02 y + a_00 = 0$ e l'asse y e imporre il passaggio per (0,2), ottengo l'equazione ...

Sia $V$ lo spazio vettoriale delle matrici $2x2$ e sia $W$ il sottoinsieme di $V$ costituito dalle matrici $((a,b),(c,d))$ tali che $a+b+c=0$. Provare che $W$ è un sottospazio di $V$ e calcolarne la dimensione. ALLORA: Siano $v_1,v_2$ $in$ $W$ dove: $v_1= $ $((a_1,b_1),(c_1,d_1))$ ; $v_2= $ $((a_2,b_2),(c_2,d_2))$ QUINDI: ...

Ciao a tutti nel corso di Algebra Lineare, il professore ha accennato in un paio di casi alle varietà lineari, dandone prima una definizione e poi, nello svolgersi delle lezioni, ne ha fatto qualche esempio man mano che sviluppavamo la teoria. Questa è la definizione iniziale che ci ha dato: '' Per un qualunque sottospazio $ U sube R^n $, indichiamo con $ v + U : { v+u | u in U} $ la varietà lineare, dove $ U $ è definito lo SPAZIO DIRETTORE " e subito dopo ci ha dato una proposizione ...

questa è la matrice: $ A = ( ( 5 , 0 , 5 ),( 0 , 0 , 0 ),( 5 , 0 , 5 ) ) $ i due autovalori sono: $\lambda=0$ $\lambda=10$ la matrice è diagonalizzabile. i) Scrivere una forma diagonale $D$ della matrice. ii) Scrivere una matrice $P$ tale che $D=P^(-1)*A*P$

Sia $T: V -> W$ un applicazione lineare tale che $Ker$ $T = {0_v}$. Provare che $T$ è iniettiva. Allora: se il nucleo di $T$ contiene solo il vettore nullo, vuol dire che il sistema omogeneo associato a $W$ ammette solo la soluzione banale, quindi vuol dire che i vettori, che compongono $W$, sono linearmente dipendenti... giusto? Però faccio a dimostrarlo?

Esistono sottospazi di dimensione 2 nello spazio vettoriale R3 ? Se si, se ne scriva uno. Se no, si spieghi perchè.

Ciao, potete dirmi che legame c'è tra determinante e rango?

$f:R4->R3$ tale che$ f(x,y,z,t)=(x-t,-x+t,8y+3z)$ Ho provato a svolgerlo così: $ ( ( 1 , 0 , 0 , -1 ),( -1 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 8 , 3 , 0 ) ) $ e ho trovato che il $rango=2$, infatti $ ( ( 1 , 0 , 0 , -1 ),( 0 , 8 , 3 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $ $rango=2$ quindi $dim(Im(f))=2$ e per trovare una base per l'immagine ho considerato le colonne dove ci sono i pivot e quindi ho preso i vettori $(1,-1,0),(0,0,8)$ ora dal teorema della dimensione ho ricavato $dim(ker(f)$ ovvero $dim(R4)=dim(ker(f))+dim(Im(f)) $ cioè $ 4=2+2$ ne deduco che l'applicazione non è iniettiva nè ...

Studiare la diagonalizzabilità della matrice: $ ( ( 1 , -1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ Se la matrice è diagonalizzabile, determinarne una base di autovettori. con il metodo di Sarrus ho cercato il determinante: $ {: ( 1-\lambda , -1 , 0 , 1-\lambda , -1 , 0 ),( -1 , 1-\lambda , 0 , -1 , 1-\lambda , 0 ),( 0 , 0 , 2-\lambda , 0 , 0 , 2-\lambda ) :} $ e mi trovo $2\lambda^2-3\lambda-2=0$ ho applicato ruffini: $(\lambda-2)(\lambda+1)=0$ quindi i due autovalori sono $\lambda=-1$ e $\lambda=2$ ho calcolato la molteplicità algebrica di entrambi gli autovalori e la loro somma è $1+1=2$ e ne ho dedotto che la matrice non è ...

Ciao a tutti... mi aiutate un attimo a capire questa cosa? Allora io ho un'applicazione lineare \(\displaystyle F: R^2 -> R^3 \)tale che \(\displaystyle F(e1)=e2+e3 \) \(\displaystyle F(e2)=2e1-e2+e3 \) (Dove e1, e2 sono i vettori della base canonica di \(\displaystyle R^2 \) ed e1, e2, e3 sono i vettori della base canonica di \(\displaystyle R^3 \)) Voglio determinare \(\displaystyle F(x,y) \) per un generico vettore di \(\displaystyle R^2 \). Il mio libro dice di usare la proprietà di ...