Dato un piano, trovare una retta parametrica appartenente al piano
Ho il piano $pi: y-z=0$ dunque so che $\vec v=(0,1,-1)$ è il vettore perpendicolare al piano, inoltre so che il punto $P_0=(0,1,1) in pi$
Avevo pensato che la parametrica sarebbe potuta essere la retta passante per $P_0$ e avente come vettore parallelo $\vec c$
ottenendo così:
$r:{(x=0), (y=1+t), (z=1-t):}$
Invece la soluzione non coincide con quella del libro che tira fuori, non so da dove, un secondo punto $P_1=(1,0,0)$ non fornito dai dati e quindi calcolato in qualche modo e dicendo che allora la parametrica è:
$r:{(x=t), (y=1-t), (z=1-t):}$
Potete dirmi cosa sbaglio nel mio ragionamento e correggermelo? E magari spiegare anche il ragionamento della soluzione...
Avevo pensato che la parametrica sarebbe potuta essere la retta passante per $P_0$ e avente come vettore parallelo $\vec c$
ottenendo così:
$r:{(x=0), (y=1+t), (z=1-t):}$
Invece la soluzione non coincide con quella del libro che tira fuori, non so da dove, un secondo punto $P_1=(1,0,0)$ non fornito dai dati e quindi calcolato in qualche modo e dicendo che allora la parametrica è:
$r:{(x=t), (y=1-t), (z=1-t):}$
Potete dirmi cosa sbaglio nel mio ragionamento e correggermelo? E magari spiegare anche il ragionamento della soluzione...
Risposte
L'equazione parametrica di un piano non dovrebbe avere due parametri? Cosa dovrebbe essere \(r\)? Comunque la tua retta è perpendicolare al piano. Lo hai detto tu stesso 4 righe prima.
$pi: y-z=0$ è il piano, $r$ deve essere la retta parametrica appartenente al piano.
In che senso una retta dovrebbe avere due parametri? Una parametrica ha la seguente forma:
$r:{(x=x_0+(l)t), (y=y_0+mt), (z=z_0+nt):}$ dove $(x_0,y_0,z_0)$ sono le coordinate di un punto $P_0$ appartenente alla retta ed $(l,m,n)$ sono le componenti di un vettore $\vec v=l\vec i+m\vec j+n\vec k$ parallelo alla retta. Dunque il parametro è uno ed è t. O no?
In che senso una retta dovrebbe avere due parametri? Una parametrica ha la seguente forma:
$r:{(x=x_0+(l)t), (y=y_0+mt), (z=z_0+nt):}$ dove $(x_0,y_0,z_0)$ sono le coordinate di un punto $P_0$ appartenente alla retta ed $(l,m,n)$ sono le componenti di un vettore $\vec v=l\vec i+m\vec j+n\vec k$ parallelo alla retta. Dunque il parametro è uno ed è t. O no?
Il sottospazio ortogonale ad un vettore in \(\mathbb{R}^3\) ha dimensione 2. Quindi dati \(\mathbf{u}\) e \(\mathbf{w}\) linearmente indipendenti ed ortogonali alla direzione normale al vettore allora \(\pi = P_0 + t\mathbf{u} + s\mathbf{w}\).
In questo caso, quindi, $u$ e $w$ sono $(0,1,-1)$ e $(1,0,0)$? Non ho capito. 
ASSOLUTAMENTE NO, ti ho già detto che \((0,1,-1)\) è perpendicolare al piano. E lo hai detto anche tu nella prima riga, comincio a pensare che tu non abbia capito cosa significhi perpendicolare.
Quella che ti ho scritto è un'equazione di un piano generico. Certamente, essendo quel piano affine in realtà un iperpiano vettoriale (ovvero passa per \((0,0,0)\) ), i punti \(P_0\) e \(P_1\) sono associati a dei vettori che sono effettivamente ortogonali al vettore \((0,1,-1)\). Quindi il piano \(\pi\) ha equazione parametrica \(t(1,0,0) + s(0,1,1)\). La terna è tra l'altro ortogonale.
Venendo al tuo problema, esistono un numero continuo di rette che sono contenute in quel piano. Puoi prendere la retta che passa per \(P_0\) e \(P_1\) oppure prenderne una che passa per l'origine. Insomma le soluzioni sono letteralmente infinite.
[EDIT] Il professore ha preso la retta che passa per \(P_0\) e \(P_1\).
Quella che ti ho scritto è un'equazione di un piano generico. Certamente, essendo quel piano affine in realtà un iperpiano vettoriale (ovvero passa per \((0,0,0)\) ), i punti \(P_0\) e \(P_1\) sono associati a dei vettori che sono effettivamente ortogonali al vettore \((0,1,-1)\). Quindi il piano \(\pi\) ha equazione parametrica \(t(1,0,0) + s(0,1,1)\). La terna è tra l'altro ortogonale.
Venendo al tuo problema, esistono un numero continuo di rette che sono contenute in quel piano. Puoi prendere la retta che passa per \(P_0\) e \(P_1\) oppure prenderne una che passa per l'origine. Insomma le soluzioni sono letteralmente infinite.
[EDIT] Il professore ha preso la retta che passa per \(P_0\) e \(P_1\).
Grazie mille. 
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