Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao ragazzi, avendo iniziato il corso di Geometria e algebra lineare da pochi giorni , sono nati i primi dubbi.
Questi dubbi si basano su degli esercizi che ci ha dato la professoressa tra cui la dimostrazione della proprietà commutativa rispetto alla somma. Io ho risolto in tal maniera e non so se è il modo corretto di procedere: definisco una struttura algebrica
\(\displaystyle R^{m,n} \) e due matrici \(\displaystyle A=(a_{i,j}) \in R^{m,n} \) e \(\displaystyle B=(b_{i,j}) \in R^{m,n} ...
Buongiorno a tutti e scusatemi per il disturbo .
Non ho ben chiara la seconda parte di questo esercizio e vorrei dunque una spiegazione, se possibile.
Stabilire se la matrice B=
$((3,0,0),(1,3,0),(1,0,1))$
risulta diagonalizzabile ed esibire un sistema indipendente massimale di autovettori di B.
Ora, data la matrice, gli autovettori dovrebbero essere dati dal determinante ($(3-\lambda)^2 (1-\lambda)$), ovvero 3 e 1(con molteplicità 2 e 1).
Tuttavia non mi trovo con le molteplicità geometriche(mi vengono ...
Ciao a tutti!
Sto affrontando un corso di Geometria Differenziale, e ho qualche difficoltà a comprendere i concetti. "Qualche".
Con la speranza che prima o poi io riceva l'illuminazione e faccia chiarezza in questa materia oscura, vorrei avere conferma / aiuto con alcuni semplici esempi.
Nota: non sono presi da esercizi o da esempi del libro. Sono domande che mi sono posto e che sono ragionevolmente sicuro debbano avere una risposta semplice. Se ci sono questioni teoriche che sto ignorando ...
Ricapitolando uno spazio vettoriale è un insieme di vettori scrivibili come combinazione lineare dei vettori appartenenti alla base dello spazio.
Un'applicazione lineare è invece un'operazione che applicata ad uno spazio vettoriale lo trasforma in un'altro spazio, ma a questo punto non riesco bene a figurarmi cosa sia la matrice associata ad un'applicazione lineare.
Se la matrice associata ad uno spazio vettoriale non è altro che la matrice con come colonne i generatori dello spazio cosa ...
Salve a tutti,vorrei una conferma su questo esercizio:
Considera V= {X ∈ M3,3(R) : X[size=85]T[/size] = X, tr(X) = 0}
(i) Prova che V è un sottospazio vettoriale di M3,3(R);
(ii) determina la dimensione di V esibendone una base;
Ho verificato che V è un sottospazio vettoriale di M3,3(R) avente dim=2 e come base di V ho trovato:
$ | ( -1 ),( 0 ),( 1) | $ , $ | ( -1 ),( 1 ),( 0 ) | $
Il risultato è corretto oppure ho sbagliato qualcosa??
Grazie in anticipo
Il ben noto teorema di Cayley-Hamilton afferma che una qualunque matrice \(A\in\mathbb{R}^{n\times n}\) soddisfa l'equazione matriciale
\[\chi_A (A)=A^n+a_1 A^{n-1}+...+a_{n-1}A+a_n\mathbb{I}=0\]
dove \(\chi_A(\lambda)=\det(\lambda\mathbb{I}-A)=\lambda^n+a_1 \lambda^{n-1}+...+a_{n-1}\lambda+a_n\). Segue immediatamente che le prime \(n\) potenze della generica matrice quadrata \(A\) sono una base per la matrice \(A^n\), ossia quest'ultima può essere pensata come combinazione lineare delle matrici ...
mi aiutate con questo esercizio? trovare l'equazione della retta passante per i punti A(0,-2,-3) e B(1,-1,-1)
Salve. Nelle olimpiadi di matematica ho trovato questo problema:" quanti angoli minori di 150° può avere al massimo un poligono convesso di 2016 lati." Io so che la somma degli angoli interni è costante e inoltre che ogni angolo è minore di 180°. Se il poligono fosse regolare avrebbe angoli di 179.82°. Nn so come procedere. Grazie per eventuali aiuti.
Siano A1,...,An vettori colonna di dimensione n e di supponga che essi siano linearmente indipendenti. dimostrare che
Det(A1,....,An) è diverso da zero.
Come potrei fare ?
Buonasera a tutti, ho un problema con una matrice quadrata 3x3 con un parametro k,mi chiede di stabilere per quali valori del parametro essa è diagonalizzabile.
Mi é nato il problema alla ricerca degli autovalori e mi esce un polinomio caratteristico molto strano, vi allego qui la matrice e vi ringrazio se potete darmi una mano.
$((1,2,6), (-3,-4,k), (1,1,2))$
Io ho Y aperto di uno spazio topologico X con la topologia di zariski (i chiusi sono gli insiemi algebrici), Z0 e Z1 due chiusi in Y irriducibili con Z0 incluso propriamente in Z1. Se C(Z0) e C(Z1) sono le chiusure di Z0 e Z1 come faccio a dire che C(Z0) è incluso propriamente in C(Z1)? Questa proprietà vale in ogni spazio topologico o solo in questo caso specifico di topologia di zariski?
Salve incontro difficoltà nel risolvere questo esercizio, se qualcuno può darmi una mano gliene sarei grato
La traccia è la seguente:
"Scrivere una terna di numeri direttori della retta di E3 ortogonale alla retta r :$\{(x - y + z = 1),(x - 3z = 0):}$
e parallela al piano $\Pi$ : $ 3x- y + 2z = 1$"
Grazie in anticipo!
Ciao a tutti! Ringrazio anticipatamente chiunque proverà ad aiutarmi! Purtroppo mi sono bloccato in questo esercizio e arrivato ad un certo punto non riesco più ad andare avanti... il testo dice:
In un riferimento cartesiano del piano RC(O;i,j) sia data la retta $ r:3x-2y+4=0 $
a) Scrivere l'equazione di r nel nuovo riferimento RC'(O;i',j') equiverso ad RC, con asse x' parallelo alla retta $s:x+y-1=0$ e orientato secondo le x crescenti, ed origine O' con coordinate $ ( ( 2 ),( 2 ) ) $ ...
determinare l'equazione dellaretta passante per A(0,3,1) e parallela alla retta r: $ { ( 2x-y+1=0 ),( 3y2z=0 ):} $ mi date una mano a risolvere questo eserczio?
Ciao a tutti ragazzi,
ho bisogno di aiuto su quest' esercizio:
"Sia f : R3 → R3 l’applicazione lineare tale che f(x, y, z) = (2x, x − 2y, 2y − z).
(i) Dire se f `e iniettiva e suriettiva.
(ii) Calcolare autovalori e autospazi di f.
(iii) Dire se f `e diagonalizzabile e perchè."
In particolare mi interessa sapere come calcolare gli autovettori relativi ai rispettivi autovalori.
Fino al calcolo degli autovalori non ho problemi, son riuscito a trovarli e sono -1, 2 e -2.
Quando però devo andare ...
mi aiutate con questo esercizio? determinare la distanza tra il punto A(2,1,1) e la retta r:$ { (x+2z=1 ),( y+z=-1 ):} $
mi aiutate con questo esercizio?stabilire l'equazione del piano passante per il punto A(1,1,0) e parallelo alla retta r: $ { ( x+y=0 ),(x-z=1 ):} $
Ciao a tutti, avrei una domanda da porre:
Dato un endomorfismo su uno spazio vettoriale reale di dimensione finita rappresentato (rispetto alla base canonica) dalla matrice $A$, se l'endomorfismo è diagonalizzabile, allora mi è chiaro che $\det A=\lambda_1\cdot\ldots\cdot \lambda_n$, perché il determinante non dipende dalla base scelta.
Supponiamo però ora che io abbia $n$ autovalori, contati con le rispettive molteplicità, ma che uno di questi abbia la molteplicità geometrica minore di quella ...
Buonasera a tutti.
Tra pochi giorni dovrò sostenere l'esame di Analisi 1 (contenente anche esercizi su matrici e vettori) e sto riguardando i vari esercizi dati dal professore nelle prove precedenti.
Mi sono imbattuta in un esercizio che proprio non riesco a risolvere.. non so nemmeno da dove partire.
Dati i vettori x = $[$x_1$ $x_2$ $x_3$]^T$ e y($\alpha$) = $[-1 -1 -1]^T$ con $\alpha$ ...
Salve a tutti!
Avrei un dubbio su un esercizio che mi chiede di trovare, data la matrice C associata alla forma bilineare rispetto alla base canonica che ha per colonne i vettori (1, -1, 1) (2, 1, 0) (3,1,1), la matrice B associata alla stessa forma biliare rispetto alla base D:{(1,1,0), (0,1,0), (1,1,1)}. Conoscendo la formula del cambiamento di base per una forma bilineare (NtCN) ho considerato N, che corrisponde alla matrice del cambio di base rispetto la base D nel dominio e alla base ...
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