Topologia/topologia di zariski semplice semplice
Io ho Y aperto di uno spazio topologico X con la topologia di zariski (i chiusi sono gli insiemi algebrici), Z0 e Z1 due chiusi in Y irriducibili con Z0 incluso propriamente in Z1. Se C(Z0) e C(Z1) sono le chiusure di Z0 e Z1 come faccio a dire che C(Z0) è incluso propriamente in C(Z1)? Questa proprietà vale in ogni spazio topologico o solo in questo caso specifico di topologia di zariski?
Risposte
Sorvolando l'ipotesi che non hai specificato chi sia \(\displaystyle X\) (spazio affine, proiettivo, un loro sottoinsieme localmente chiuso, uno schema, altro); in un qualsiasi spazio topologico \(\displaystyle X\) vale la proprietà:
\[
\forall Z\subseteq Y\subseteq X\Rightarrow\overline{Z}\subseteq\overline{Y}.
\]
Ti ricordi la definizione di chiusura di un sottoinsieme di uno spazio topologico?
\[
\forall Z\subseteq Y\subseteq X\Rightarrow\overline{Z}\subseteq\overline{Y}.
\]
Ti ricordi la definizione di chiusura di un sottoinsieme di uno spazio topologico?
"j18eos":
Sorvolando l'ipotesi che non hai specificato chi sia \(\displaystyle X\) (spazio affine, proiettivo, un loro sottoinsieme localmente chiuso, uno schema, altro); in un qualsiasi spazio topologico \(\displaystyle X\) vale la proprietà:
\[
\forall Z\subseteq Y\subseteq X\Rightarrow\overline{Z}\subseteq\overline{Y}.
\]
Ti ricordi la definizione di chiusura di un sottoinsieme di uno spazio topologico?
L'inclusione propria!!!!! Perchè se l'inclusione è propria in questo caso è propria anche l'inclusione tra le chiusure? In generale non è così.
"thecrazy":In generale non è così, prendi la topologia con un punto aperto e un punto chiuso, su un insieme con due soli punti: allora la chiusura del punto aperto è l'intero spazio; inoltre, entrambi i punti e tutto lo spazio costituiscono insiemi irriducibili...
...Perchè se l'inclusione è propria in questo caso è propria anche l'inclusione tra le chiusure? In generale non è così.
E poi scusa, se tu consideri due insiemi chiusi: essi coincidono con la loro chiusura...
A questo punto, dovresti formulare meglio la tua domanda: se consideri due insiemi irriducibili, uno propriamente contenuto nell'altro, allora varrà anche l'inclusione propria tra le loro chiusure?
La risposta è comunque no; vedo l'esempio di sopra!
E se passiamo alla topologia di Zariski? La risposta continua a non cambiare...
E.g.: considerata la retta affine \(\displaystyle X\) su un campo e due suoi punti distinti \(\displaystyle P\) e \(\displaystyle Q\), allora \(\displaystyle X\supsetneqq X\setminus\{P\}=Z_1\supsetneqq X\setminus\{P,Q\}=Z_2\); \(\displaystyle X\) con la topologia di Zariski è uno spazio topologico irriducibile, in particolare i suoi sottoinsiemi aperti sono densi; \(\displaystyle Z_1\) e \(\displaystyle Z_2\) sono sottoinsiemi aperti e quindi densi in \(\displaystyle X\), ovvero
\[
X=\overline{Z_1}=\overline{Z_2}.
\]
Spero di essere riuscito a rispondere alla tua domanda.
"j18eos":In generale non è così, prendi la topologia con un punto aperto e un punto chiuso, su un insieme con due soli punti: allora la chiusura del punto aperto è l'intero spazio; inoltre, entrambi i punti e tutto lo spazio costituiscono insiemi irriducibili...
[quote="thecrazy"]...Perchè se l'inclusione è propria in questo caso è propria anche l'inclusione tra le chiusure? In generale non è così.
E poi scusa, se tu consideri due insiemi chiusi: essi coincidono con la loro chiusura...
A questo punto, dovresti formulare meglio la tua domanda: se consideri due insiemi irriducibili, uno propriamente contenuto nell'altro, allora varrà anche l'inclusione propria tra le loro chiusure?
La risposta è comunque no; vedo l'esempio di sopra!
E se passiamo alla topologia di Zariski? La risposta continua a non cambiare...
E.g.: considerata la retta affine \(\displaystyle X\) su un campo e due suoi punti distinti \(\displaystyle P\) e \(\displaystyle Q\), allora \(\displaystyle X\supsetneqq X\setminus\{P\}=Z_1\supsetneqq X\setminus\{P,Q\}=Z_2\); \(\displaystyle X\) con la topologia di Zariski è uno spazio topologico irriducibile, in particolare i suoi sottoinsiemi aperti sono densi; \(\displaystyle Z_1\) e \(\displaystyle Z_2\) sono sottoinsiemi aperti e quindi densi in \(\displaystyle X\), ovvero
\[
X=\overline{Z_1}=\overline{Z_2}.
\]
Spero di essere riuscito a rispondere alla tua domanda.[/quote]
e se anche Y è irriducibile, vale la tesi? Perchè in una dimostrazione di un teorema trovo un passaggio del genere e non riesco a giustificarlo. Ripeto, Y aperto irriducibile (varietà quasi affine) Z0 incluso propriamente in Z1 con Z0 e Z1 chiusi in Y e irriducibili, le chiusure devono essere incluse propriamente l'una nell'altra altra per qualche motivo perchè è un passaggio di un teroema. Ho aggiunto l'ipotesi che Y sia irriducibile.
Vediamo se ho capito: \(\displaystyle Y\) è un aperto irriducibile[nota]Ci si può sempre ricondurre alle componenti irriducibili.[/nota]; in un qualche spazio affine su un campo; \(\displaystyle Z_0\subsetneqq Z_1\subseteq Y\subsetneqq X\)[nota]Con \(\displaystyle X\) intendo un varietà affine in un qualche spazio affine sul campo scelto.[/nota] ivi chiusi.
Per definizione:
\[
\exists Z_{0,X}\subsetneqq Z_{1,X}\subseteq X\,\text{chiusi}\mid Z_{0,X}\cap Y=Z_0,Z_{1,X}\cap Y=Z_1
\]
ed essendo:
\[
Z_0\subsetneqq\overline{Z_0}^X=\overline{Z_{0,X}\cap Y}^X\subseteq Z_{0,X}\subsetneqq Z_{1,X}\Rightarrow\\
\Rightarrow Z_0=\overline{Z_0}^X\cap Y=Z_{0,X}\cap Y\subsetneqq Z_{1,X}\cap Y=Z_1=Z_{1,X}\cap Y=\overline{Z_1}^X\cap Y\Rightarrow\\
\Rightarrow\overline{Z_0}^X\subsetneqq\overline{Z_1}^X.
\]
Tieni conto che ho solo tenuto conto che \(\displaystyle X\) è un insieme irriducibile e che \(\displaystyle Y\) è un suo sottoinsieme aperto... Non ho usato la topologia di Zariski o le strutture di varietà algebriche!
Ti torna tutto?
Per definizione:
\[
\exists Z_{0,X}\subsetneqq Z_{1,X}\subseteq X\,\text{chiusi}\mid Z_{0,X}\cap Y=Z_0,Z_{1,X}\cap Y=Z_1
\]
ed essendo:
\[
Z_0\subsetneqq\overline{Z_0}^X=\overline{Z_{0,X}\cap Y}^X\subseteq Z_{0,X}\subsetneqq Z_{1,X}\Rightarrow\\
\Rightarrow Z_0=\overline{Z_0}^X\cap Y=Z_{0,X}\cap Y\subsetneqq Z_{1,X}\cap Y=Z_1=Z_{1,X}\cap Y=\overline{Z_1}^X\cap Y\Rightarrow\\
\Rightarrow\overline{Z_0}^X\subsetneqq\overline{Z_1}^X.
\]
Tieni conto che ho solo tenuto conto che \(\displaystyle X\) è un insieme irriducibile e che \(\displaystyle Y\) è un suo sottoinsieme aperto... Non ho usato la topologia di Zariski o le strutture di varietà algebriche!
Ti torna tutto?
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