Geometria e algebra

[viper19920]

Salve, non so se sia la sezione giusta, volevo un aiuto con un esercizio dove chiede se f è diagonalizzabile.
Ho f(x,y,z) € R^3 (2x+2y+2z,2y,-y+z) €R^3
Bene ho proseguito così:
f(1,0,0)=(2,0,0)
f(0,1,0)=(2,2,-1)
f(0,0,1)=(2,0,1)
A $ | ( 2 , 2 , 2 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ) | $

rango 3

$ | ( 2-t , 2 , 2 ),( 0 , 2-t , 0 ),( 0 , -1 , 1-t ) | $
(2-t)^2 (1-t)
Siccome siamo nel campo reale prendo solo (1-t)
t=1 ma 1 mg 1

V1 $ | ( 1 , 2 , 2 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 0 ) | $
pV1=2
dimR^3-p(V1)= 3-2=1 f è diagonalizzabile
E' giusto il procedimento ? Grazie

[billyballo2123]

Fino al calcolo del polinomio caratteristico tutto bene.
Però non vedo perché decidi di scartare l'autovalore $2$! Dici di scartarlo perché il campo è $\mathbb{R}$, ma non è un buon motivo
Quindi hai due autovalori: l'autovalore $1$ con molteplicità algebrica e geometrica uno, e l'autovalore $2$ con molteplicità algebrica due; a questo punto non ti resta che calcolare la molteplicità geometrica di $2$. Se dovesse essere due, puoi concludere che $f$ è diagonalizzabile.

[viper19920]

si viene 2 grazie in rete avevo letto che solo nel caso di campo complesso C si prende anche quella elevata al quadrato :/
Ultima cosa: quando mi chiede una base per ogni autospazio , la si calcola anche nel caso in cui f é non diagonalizzabile?

[billyballo2123]

La base dell'autospazio relativo all'autovalore $\lambda$ la trovi trovando una base di $Ker(A-\lambda I)$.