Cambiamento di riferimento cartesiano nel piano, aiuto!

[Black Fox1]

Ciao a tutti! Ringrazio anticipatamente chiunque proverà ad aiutarmi! Purtroppo mi sono bloccato in questo esercizio e arrivato ad un certo punto non riesco più ad andare avanti... il testo dice:
In un riferimento cartesiano del piano RC(O;i,j) sia data la retta $ r:3x-2y+4=0 $
a) Scrivere l'equazione di r nel nuovo riferimento RC'(O;i',j') equiverso ad RC, con asse x' parallelo alla retta $s:x+y-1=0$ e orientato secondo le x crescenti, ed origine O' con coordinate $ ( ( 2 ),( 2 ) ) $ nel riferimento RC.
b) Scrivere le formule dirette di cambiamento di coordinate del riferimento RC a quelle del riferimento RC'

Dunque per il punto a non ci sono problemi, trovo prima la matrice di cambiamento base che sarebbe $ P( ( 1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) ),( -1/sqrt(2) , 1/sqrt(2) ) ) $ e quindi applicando la formula di trasformazione di coordinate indiretta ovvero: $ X = P * X' + C' $ essendo C' le coordinate di O' in RC (che ho) abbiamo: $ { ( x=1/sqrt(2)x'+1/sqrt(2)y'+2 ),( y=-1/sqrt(2)x'+1/sqrt(2)y'+2 ):} $ sostituendo x e y nell'equazione cartesiana di r ottengo $ r:5x'+y'+6sqrt(2)=0 $
Ora però non riesco a procedere con il punto b... sapendo che la formula da applicare sarebbe quella di trasformazione diretta: $ X': P^T *X+C $ il problema nasce dal fatto che io non ho C... spero che qualcuno possa aiutarmi perché davvero non capisco come si possa fare e sopratutto il perchè

[billyballo2123]

Se non sbaglio
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
2 \\
2
\end{bmatrix}
\]
e non
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
2 \\
2
\end{bmatrix}
\]
e quindi la retta $r$ dovrebbe avere equazione $x'-5y'+6\sqrt{2}=0$.
Per trovare la trasformazione inversa invece
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
2 \\
2
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
x -2\\
y-2
\end{bmatrix}
=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x -2\\
y-2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x -2\\
y-2
\end{bmatrix}
=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
+\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-2\\
-2
\end{bmatrix} \\
=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
-2\sqrt{2} \\
0
\end{bmatrix}.
\]

[Black Fox1]

"billyballo2123":Se non sbaglio
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
2 \\
2
\end{bmatrix}
\]
e non
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
2 \\
2
\end{bmatrix}
\]
e quindi la retta $r$ dovrebbe avere equazione $x'-5y'+6\sqrt{2}=0$.
Per trovare la trasformazione inversa invece
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
2 \\
2
\end{bmatrix} \\
\begin{bmatrix}
x -2\\
y-2
\end{bmatrix}
=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix} \\
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x -2\\
y-2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix} \\

\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x -2\\
y-2
\end{bmatrix}
=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
+\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
-2\\
-2
\end{bmatrix} \\
=\frac{1}{\sqrt{2}}
\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
-2\sqrt{2} \\
0
\end{bmatrix}.
\]

Grazie mille

[billyballo2123]

Figurati