Calcolare il determinante in funzione degli autovalori

[billyballo2123]

Ciao a tutti, avrei una domanda da porre:
Dato un endomorfismo su uno spazio vettoriale reale di dimensione finita rappresentato (rispetto alla base canonica) dalla matrice $A$, se l'endomorfismo è diagonalizzabile, allora mi è chiaro che $\det A=\lambda_1\cdot\ldots\cdot \lambda_n$, perché il determinante non dipende dalla base scelta.
Supponiamo però ora che io abbia $n$ autovalori, contati con le rispettive molteplicità, ma che uno di questi abbia la molteplicità geometrica minore di quella algebrica (da cui credo si possa dedurre che l'endomorfismo non è diagonalizzabile). Posso comunque concludere che $\det A=\lambda_1\cdot\ldots\cdot \lambda_n$?

[Magma1]

Dato che ogni endormofismo ha varie matrici rappresentative, possiamo focalizzare il ragionamento su di esse, sappiamo che:

Se due matrici sono simili, hanno lo stesso determinante $ \det A=\lambda_1\cdot\ldots\cdot \lambda_n $,
Due matrici sono simili se sono rappresentative dello stesso endomorfismo e si diagonalizzano nella stessa matrice diagonale,
Una matrice è diagonalizzabile se e solo se $g(lambda_i)=Alg(lambda_i)$, dove il pedice $i$ rappresenta l'i-esimo autovalore.

Quindi se hai un edomorfismo che abbia la molteplicità geometrica minore di quella algebrica vuol dire che questo non è diagonalizzabile e quindi non può essere simile a una matrice diagonale; pertanto non può avere $ \det A=\lambda_1\cdot\ldots\cdot \lambda_n $.

[billyballo2123]

Come si dimostra che se non è diagonalizzabile allora SICURAMENTE $\det A\ne \lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_n$?

[Magma1]

Sinceramente mi sta venendo il dubbio, però non ho il tempo di provare a dimostrarlo.

Tuttavia se un endomorfismo non è diagonalizzabile, o non ha gli autovalori oppure può averli ma con $g(lambda)

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[billyballo2123]

"Magma":
nel secondo il determinante corrisponde al prodotto degli autovalori (in quanto gli autovalori sono proprio le soluzioni di $det(A)=0$). Pertanto concluderei che dipende dai casi.

Sì a me interessa solo questo secondo caso!
Mi potresti spiegare un po' meglio questa frase? Non mi è chiaro perché la frase tra parentesi implichi che $\det A=\lambda_1\cdot\ldots\cdot\lambda_n$.

[dissonance]

Il determinante è sempre uguale al prodotto degli autovalori. Si può vedere velocemente, per matrici reali o complesse, usando il fatto che le matrici diagonalizzabili formano un sottoinsieme denso dello spazio delle matrici. Quindi la formula \(\det A =\prod \lambda_j\), valida per le matrici diagonalizzabili, si prolunga per continuità a tutte le matrici.

In realtà questa è una proprietà puramente algebrica che si può dimostrare senza usare nessuna nozione di topologia (continuità, densità...). Uno dimostra che il termine noto del polinomio caratteristico di una matrice è uguale al determinante (a meno di un segno, dipende dalla definizione di polinomio caratteristico). E quindi usando un po' di algebra uno conclude che il prodotto delle radici del polinomio caratteristico (=gli autovalori della matrice) è uguale al determinante.

Non so bene i dettagli ora, ma è tutto qui:

https://en.wikipedia.org/wiki/Character ... Properties

o anche in molte vecchie discussioni sul forum.

[Magma1]

Chiedo venia ma non so cosa mi prende, sto prendendo pali per lanterne (troppo studio o stanchezza? )?

Il fatto che il determinante sia dato dal prodotto degli autovalori lo si può vedere evidentemente in una matrice diagonale:

$(( lambda_1 , 0 , 0 , 0,0 ),( 0 , . , 0 , 0,0 ),( 0 , 0 , . , 0,0 ),( 0,0 , 0 , .,0 ),(0,0,0,0,lambda_n))$

e questo determinante è uguale a tutte le matrici simili a una matrice diagonale.

Una matrice che non è simile a una matrice diagonale non può avere che il determinante sia dato dal prodotto degli autovalori.
Dato che due matrici sono simili se sono diagonalizzabili, ne consegue che matrici non diagonalizzibili non hanno la proprietà che il determinante sia dato dal prodotto degli autovalori.

La frase tra parentesi lo intuita erroneamente[nota]È vero che gli autovalori sono le soluzioni di $ det(A)=0 $, ma ciò non implica che il determinante sia dato dal prodotto degli autovalori.[/nota] dal fatto che $((0,1),(0,0))$ ha un unico autovalore $0$ e che il suo determinante sia proprio $0$: è questo l'esempio che mi ha portato fuoristrada e a dire che dipenda dai casi...

Se avrò trovato del tempo libero, proverò a studiare la cosa più a fondo e, qualora non fosse intervenuto qualcuno più esperto, cercherò di levare io i dubbi al riguardo. Mi dispiace solo di averti solamente confuso di più le idee

[billyballo2123]

Grazie mille Dissonance dubbio risolto!!
E grazie lo stesso per l'interessamento Magma

[dissonance]

"Magma":
Una matrice che non è simile a una matrice diagonale non può avere che il determinante sia dato dal prodotto degli autovalori.

Falso. Il determinante è uguale al prodotto degli autovalori in tutte le matrici, come ho provato a spiegare sopra. (Forse non ho capito bene cosa volevi dire?)

gli autovalori sono le soluzioni di $ det(A)=0 $

No: gli autovalori sono le radici del polinomio \(P(X)=\det (A-X\cdot I)\). Questo polinomio ha, tra le altre cose, la seguente proprietà: se uno scrive
\[
P(X)=\det (A-X\cdot I)=(-1)^n X^n + a_{n-1} X^{n-1} + \ldots + a_1 X + a_0,\]
allora si accorge che \(a_0=P(0)=\det A\). E' da qui che uno dimostra, per via algebrica, che \(\det A\) è uguale al prodotto degli autovalori. E' un meccanismo che in realtà conosciamo bene fin dalla scuola: dato un polinomio monico di secondo grado
\[
x^2+bx+c, \]
sappiamo che \(c\) è uguale al prodotto delle sue radici. Allo stesso modo \(\det A\) è uguale al prodotto delle radici del polinomio caratteristico.

Spero stavolta di avere spiegato un pochino meglio.

[billyballo2123]

Tutto ok ragazzi come ho detto sopra il dubbio è risolto

[Magma1]

"dissonance":

gli autovalori sono le soluzioni di $ det(A)=0 $

No: gli autovalori sono le radici del polinomio \(P(X)=\det (A-X\cdot I)\).

Opps... sì giusto, mi sono dimenticato il $-lambdaI$ per strada

Colpa del mio voler essere eccessivamente multitasking

"dissonance":[quote="Magma"]
Una matrice che non è simile a una matrice diagonale non può avere che il determinante sia dato dal prodotto degli autovalori.

Falso. Il determinante è uguale al prodotto degli autovalori in tutte le matrici, come ho provato a spiegare sopra. (Forse non ho capito bene cosa volevi dire?)[/quote]
Quello che non riesco a capire è che per esempio $((0,1),(-1,0))$è privo di autovalori in $RR$ e quindi l'affermazione
'il determinante è uguale al prodotto degli autovalori in tutte le matrici' dovrebbe essere falsa, dipende cioè dall'insieme in cui si opera; giusto?

[billyballo2123]

In questo caso il determinante è il prodotto delle radici complesse (che sono complesse coniugate, cosicché il loro prodotto è un numero reale).

[dissonance]

"Magma":
Quello che non riesco a capire è che per esempio $((0,1),(-1,0))$è privo di autovalori in $RR$ e quindi l'affermazione
'il determinante è uguale al prodotto degli autovalori in tutte le matrici' dovrebbe essere falsa, dipende cioè dall'insieme in cui si opera; giusto?

Certamente, hai ragione, è corretto come dice billy: gli autovalori si intendono complessi. (In generale quando si parla di cose collegate agli autovalori si intende sempre che ci si mette nei numeri complessi).

[Magma1]

Perfetto, grazie!

[billyballo2123]