Base spazio vettoriale
Salve a tutti,vorrei una conferma su questo esercizio:
Considera V= {X ∈ M3,3(R) : X[size=85]T[/size] = X, tr(X) = 0}
(i) Prova che V è un sottospazio vettoriale di M3,3(R);
(ii) determina la dimensione di V esibendone una base;
Ho verificato che V è un sottospazio vettoriale di M3,3(R) avente dim=2 e come base di V ho trovato:
$ | ( -1 ),( 0 ),( 1) | $ , $ | ( -1 ),( 1 ),( 0 ) | $
Il risultato è corretto oppure ho sbagliato qualcosa??
Grazie in anticipo
Considera V= {X ∈ M3,3(R) : X[size=85]T[/size] = X, tr(X) = 0}
(i) Prova che V è un sottospazio vettoriale di M3,3(R);
(ii) determina la dimensione di V esibendone una base;
Ho verificato che V è un sottospazio vettoriale di M3,3(R) avente dim=2 e come base di V ho trovato:
$ | ( -1 ),( 0 ),( 1) | $ , $ | ( -1 ),( 1 ),( 0 ) | $
Il risultato è corretto oppure ho sbagliato qualcosa??
Grazie in anticipo
Risposte
Con $M(3,3) (R) $ si intende la generica matrice a 3 righe e 3 colonne quindi con 9 elementi. : $ ((a_11,a_12,a_13),(a_21,a_22,a_23 ),( a_31,a_32,a_33))$
Il fatto che $X^T =X $ indica che la matrice deve essere simmetrica ; $tr X =0 $ indica che la somma dei termini della diagonale principale è nulla.
$V $ non può certo essere quello che hai indicato...
Il fatto che $X^T =X $ indica che la matrice deve essere simmetrica ; $tr X =0 $ indica che la somma dei termini della diagonale principale è nulla.
$V $ non può certo essere quello che hai indicato...
Mi sembra di capire che lo spazio $V$ è questo:
\[ V = \{ X \in M_{3,3} ( \mathbb{R} ) \ | \ X^t = X, \ tr(X) = 0 \} \]
cioè uno spazio di matrici $3X3$. La base di $V$ deve essere composta da matrici $3X3$, quindi il risultato che hai ottenuto non può essere corretto.
\[ V = \{ X \in M_{3,3} ( \mathbb{R} ) \ | \ X^t = X, \ tr(X) = 0 \} \]
cioè uno spazio di matrici $3X3$. La base di $V$ deve essere composta da matrici $3X3$, quindi il risultato che hai ottenuto non può essere corretto.
"Camillo":
Con $M(3,3) (R) $ si intende la generica matrice a 3 righe e 3 colonne quindi con 9 elementi. : $ ((a_11,a_12,a_13),(a_21,a_22,a_23 ),( a_31,a_32,a_33))$
Il fatto che $X^T =X $ indica che la matrice deve essere simmetrica ; $tr X =0 $ indica che la somma dei termini della diagonale principale è nulla.
$V $ non può certo essere quello che hai indicato...
Correggendo l' esercizio ho ottenuto come base $ | ( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0) | $ , $ | ( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1) | $ Ho sbagliato nuovamente o mi sto avvicinando alla soluzione?
Che dimensione ha il sottospazio $V $ ?
"Camillo":
Che dimensione ha il sottospazio $V $ ?
La dimensione devo calcolarla, per ora ho ottenuto dimV=2 ma non so se sia giusto il risultato..
La generica matrice $M_(3X3)(R)$ ha nove elementi : $a_11 , a_12, .......a_33 $ quindi ha nove variabili libere.
Invece il sottospazio $V$ è definito da alcune condizioni supplementari che sono :
$tr X =0 rarr (a_11+a_22+a_33 ) =0 $ una condizione
$X^T= X $ la matrice deve essere simmetrica quindi : $ a_12=a_21 ; a_13=a_31 ; a_23=a_32 $ tre condizioni
Quindi $Dim V = ....$
Invece il sottospazio $V$ è definito da alcune condizioni supplementari che sono :
$tr X =0 rarr (a_11+a_22+a_33 ) =0 $ una condizione
$X^T= X $ la matrice deve essere simmetrica quindi : $ a_12=a_21 ; a_13=a_31 ; a_23=a_32 $ tre condizioni
Quindi $Dim V = ....$
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