Esercizio calcolo base di un sistema di vettori e problema con rango matrice
Salve a tutti, ho una domanda su quest esercizio:
allora, premesso che $rg(A) = rg(A^1)$ dove $A$ è la matrice iniziale e $A^1$ la matrice ridotta a scalini, ho un dubbio:
per svolgere l'esercizio, ho ridotto a scala la matrice associata ai tre vettori:
$ ( ( 0 , 1 , -1 ),( k-1 , 3 , -2 ),( k^2-1 , 0 , 1 ), (3k-2, 3, -1) ) => ( ( -1 , 1 , 0 ),( -2 , 3 , k-1 ),( 1 , 0 , k^2-1 ), (-1, 3, 3k-2) ) => ( ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , k-1 ),( 0 , 1 , k^2-1 ), (0, 2, 3k-2) ) => ( ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , k-1 ),( 0 , 0 , k^2-k ), (0, 0, k-1) ) =>
( ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , k-1 ),( 0 , 0 , k^2-1 ), (0, 0, 0) ) $
NOTA BENE: Al primo passaggio ho sostituito la prima colonna con la quarta e viceversa per facilitarmi i calcoli. Ne terrò conto più avanti.
Ora:
- se $k !=0,1, rg(A^1) = rg(A) = 3$ quindi dim(V) = 2 e B(V) = {v1, v2, v3}.
ora devo verificare i casi in cui k =0 e k = 1.
A questo punto sostituisco i due valori alla matrice già ridotta a gradini:
$( ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , k-1 ),( 0 , 0 , k^2-1 ), (0, 0, 0) ) $
- se $k=0$ , la matrice diventa:
$ ( ( -1 , 3 , -2 ),( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ), (0, 0, 0) ) $
il rango della matrice è 2 quindi ho 2 vettori linearmente indipendenti. Posso prendere quali vettori voglio? di solito prendo quelli dove compaiono i pivot, quindi in questo caso v3 e v2 (ricordate lo scambio di colonne fatto inizialmente).
Quindi dim(V) = 2 e B(V) = {v3, v2}
-se $k=1$ (è qui che ho trovato il "problema"), la matrice ridotta diventa:
$ ( ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ), (0, 0, 0) ) $
quindi rango = 2, 2 vettori lin. indipendendi e quindi dim(V) = 2 e B(V) = {v3, v2} (per lo stesso ragionamento di prima).
MA, se sotituisco invece 1 alla matrice di partenza, ottengo:
$ ( ( -2 , 3 , -1 ),( 0 , 3 , -2 ),( 0 , 0 , 1 ), (0, 0, 0) ) $
che ha rg=3 quindi da qui risulta che i 3 vettori sono livenarmente indipendendi... ma tutto ciò va contro al fatto che $rg(A) =rg(A^1)$
potete spiegarmi dove sta l'errore?
L'eserciziario da effettivamente come risultato che se k=1, i tre vettori sono lin. indipendenti... ma vorrei capire perchè se sotituisco 1 alla matrice ridotta, mi viene un rango diverso rispetto a quello se sostituisco 1 alla matrice di partenza :/
Grazie mille in anticipo per l'aiuto e scusate per il poema xD
Sia V il sottospazio di $R^4$
generato dai vettori:
$v1 ≡ (0, k − 1, k2 − 1, 3k − 2), v2 ≡ (1, 3, 0, 3), v3 ≡ (−1, −2, 1, −1)$.
Determinare la dimensione e una base di V al variare del parametro reale k
allora, premesso che $rg(A) = rg(A^1)$ dove $A$ è la matrice iniziale e $A^1$ la matrice ridotta a scalini, ho un dubbio:
per svolgere l'esercizio, ho ridotto a scala la matrice associata ai tre vettori:
$ ( ( 0 , 1 , -1 ),( k-1 , 3 , -2 ),( k^2-1 , 0 , 1 ), (3k-2, 3, -1) ) => ( ( -1 , 1 , 0 ),( -2 , 3 , k-1 ),( 1 , 0 , k^2-1 ), (-1, 3, 3k-2) ) => ( ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , k-1 ),( 0 , 1 , k^2-1 ), (0, 2, 3k-2) ) => ( ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , k-1 ),( 0 , 0 , k^2-k ), (0, 0, k-1) ) =>
( ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , k-1 ),( 0 , 0 , k^2-1 ), (0, 0, 0) ) $
NOTA BENE: Al primo passaggio ho sostituito la prima colonna con la quarta e viceversa per facilitarmi i calcoli. Ne terrò conto più avanti.
Ora:
- se $k !=0,1, rg(A^1) = rg(A) = 3$ quindi dim(V) = 2 e B(V) = {v1, v2, v3}.
ora devo verificare i casi in cui k =0 e k = 1.
A questo punto sostituisco i due valori alla matrice già ridotta a gradini:
$( ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , k-1 ),( 0 , 0 , k^2-1 ), (0, 0, 0) ) $
- se $k=0$ , la matrice diventa:
$ ( ( -1 , 3 , -2 ),( 0 , 1 , -1 ),( 0 , 0 , 0 ), (0, 0, 0) ) $
il rango della matrice è 2 quindi ho 2 vettori linearmente indipendenti. Posso prendere quali vettori voglio? di solito prendo quelli dove compaiono i pivot, quindi in questo caso v3 e v2 (ricordate lo scambio di colonne fatto inizialmente).
Quindi dim(V) = 2 e B(V) = {v3, v2}
-se $k=1$ (è qui che ho trovato il "problema"), la matrice ridotta diventa:
$ ( ( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ), (0, 0, 0) ) $
quindi rango = 2, 2 vettori lin. indipendendi e quindi dim(V) = 2 e B(V) = {v3, v2} (per lo stesso ragionamento di prima).
MA, se sotituisco invece 1 alla matrice di partenza, ottengo:
$ ( ( -2 , 3 , -1 ),( 0 , 3 , -2 ),( 0 , 0 , 1 ), (0, 0, 0) ) $
che ha rg=3 quindi da qui risulta che i 3 vettori sono livenarmente indipendendi... ma tutto ciò va contro al fatto che $rg(A) =rg(A^1)$
potete spiegarmi dove sta l'errore?
L'eserciziario da effettivamente come risultato che se k=1, i tre vettori sono lin. indipendenti... ma vorrei capire perchè se sotituisco 1 alla matrice ridotta, mi viene un rango diverso rispetto a quello se sostituisco 1 alla matrice di partenza :/
Grazie mille in anticipo per l'aiuto e scusate per il poema xD
Risposte
upup
"final444h":
..
tu che mi hai già aiutato? :/
sono dubbi che ho e tra una settimana ho l'esame
"RinOkumura":
[quote="final444h"]..
tu che mi hai già aiutato? :/
sono dubbi che ho e tra una settimana ho l'esame
[/quote]Ciao, purtroppo non ti so aiutare per questo esercizio, spero comunque che qualcuno possa darti una mano!
Ci do un'occhiata comunque in giornata, magari qualcosa riesco a ricavare
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