Applicazione lineare

[carolina368]

Salve questo sarebbe un esercizio svolto dal mio professore in cui però non riesco a capire la logica

Siano v1 $((1),(0),(1))$ v2 $((0),(1),(2))$ v3 $((-1),(1),(2))$
Vettori in R3
Sia A:R3->R3 l'applicazione che permuta i vettori vi
A(V1)=V2 A(v2)=v3 A(v3)=v1

Calcolare la matrice di S rispetto alla base v1, V2, v3
Come soluzione lui mi da la matrice A'= $((0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)) $

Quello che non capisco è
Se questa è la matrice che mi trasforma questi vettori come mai se io la vado a moltiplicare per il vettore v1 non mi risulta il vettore v2?

[Shocker1]

Ciao


Perché la matrice associata a un'applicazione lineare prende in pasto coordinate e restituisce coordinate!
Sia $f:V->W$ un'applicazione lineare fra due $\mathbb{K}-spazi$ e sia $A$ la matrice associata a $f$ rispetto alle basi $S$ di $V$ e $T$ di $W$ allora, se denoto con $[v]_B$ il vettore delle coordinate di $v$ rispetto a una base $B$, ho che $[f(v)]_T = A*[v]_S$, cioè le coordinate di $f(v)$ rispetto alla base $T$ sono uguali al prodotto fra la matrice $A$ e il vettore delle coordinate di $v$ rispetto alla base $S$.

Esemplificando con il tuo esercizio: $A = ((0,0,1),(1,0,0),(0,1,0)) $, $B = {v_1, v_2, v_3}$, $[v_1]_B = (1, 0, 0)$, $[f(v_1)]_B = (0, 1, 0)$, dunque $A*[v_2]_B =((0,0,1),(1,0,0),(0,1,0))*((1),(0),(0)) = ((0), (1), (0))$ che sono proprio le coordinate di $v_2$ rispetto a $B$.