ESERCIZIO CAMBIAMENTO DI BASE

[fifaessi]

Si consideri l’endomorfismo $f:R^3 →R^4$ con matrice associata $A=((0,0,0),(0,0,1),(1,2,3))$ rispetto alla base ${(1,1,1),(0,2,2),(0,0,3)}$ sia nel dominio che nel codominio. Si determini la matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica sia nel dominio che nel codominio.
Ho problemi con esercizi del genere, dopo aver calcolato i vettori nella nuova base, calcolo le immagini moltiplicandoli per la matrice di partenza. Ma non riesco a passare dalle immagini che ho alle immagini nella base canonica.

[herstein]

Ciao, per prima cosa vorrei ricordarti la regola per quanto riguarda le matrici di cambio base.
Indico per definizione M(BC) la matrice che ha B come base del dominio e C la base del codominio. M(CC)=N(BC)M(BB)N(CB), dove come N indico la matrice identità.Siccome sono date le due basi posso calcolare N(BC) ed N(CB). Per trovare $ N(BC) $ dobbiamo scrivere ogni elemento del dominio come combinazione lineare degli elementi del codominio e metterli come colonne della matrice, $ (1,1,1)=a(1,0,0)+b(0,1,0)+c(0,0,1) $ farlo per tutti gli elementi della base del dominio , trovare i valori di a, b, c e porli come righe della tua matrice N. Alla fine $ N(BC)=( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 1 , 2 , 3 ) ) $ , $ N(CB)=N(BC)^-1 $ , $ N(CB)=( ( 6 , 0 , 0 ),( -3, 3 , 0 ),( 0 , -2 , 2 ) ) $ , a questo punto si tratta di fare una moltiplicazione tra matrici ed ottenere il risultato finale ovvero( se non ho sbagliato i conti) $ M(C C)= 1/6( ( 0 , 0 , 0 ),( 0, -4 , 4 ),( 0 , -4 , 22 ) ) $