Funzioni limitate
Buongiorno,
Cc'è un metodo "formale" per capire se una curva o una superficie sono un compatto nello spazio tridimensionale?
Ad esempio per la curva definita dal sistema $ { ( x^2+y^2=1 ),( z=1-xy ):} $ come posso concludere che è limitato?
Mentre per una superficie, ad esempio $ f (x)= x^2+2y^2+3z^2-1 $ posso sicuramente dire che è un chiuso ed intuitivamente so che è limitata, ma come lo dimostro?
Grazie in anticipo.
Cc'è un metodo "formale" per capire se una curva o una superficie sono un compatto nello spazio tridimensionale?
Ad esempio per la curva definita dal sistema $ { ( x^2+y^2=1 ),( z=1-xy ):} $ come posso concludere che è limitato?
Mentre per una superficie, ad esempio $ f (x)= x^2+2y^2+3z^2-1 $ posso sicuramente dire che è un chiuso ed intuitivamente so che è limitata, ma come lo dimostro?
Grazie in anticipo.
Risposte
In generale non credo sia facile. Certamente non lo e' quando hai tante equazioni.
Nel caso di una superficie (o piu' in generale di un'ipersuperficie) puoi sfruttare la positivita' dei quadrati per ottenere maggiorazioni. Ad esempio nel caso $f = x^2 + 2y^2 + 3z^2$ puoi osservare che $ | x | \leq 1$, $|y| \leq 1/\sqrt{2}$ e $|z| \leq 1/\sqrt{3}$. Questo dimostra che la superficie definita da $f = 0$ e' contenuta in un parallelepipedo di \(\mathbb{R} ^3\).
Osservazione facile: Se l'esponente piu' alto con cui appare una delle variabili e' dispari, allora la superficie non e' compatta. Perche'?
Nel caso di una superficie (o piu' in generale di un'ipersuperficie) puoi sfruttare la positivita' dei quadrati per ottenere maggiorazioni. Ad esempio nel caso $f = x^2 + 2y^2 + 3z^2$ puoi osservare che $ | x | \leq 1$, $|y| \leq 1/\sqrt{2}$ e $|z| \leq 1/\sqrt{3}$. Questo dimostra che la superficie definita da $f = 0$ e' contenuta in un parallelepipedo di \(\mathbb{R} ^3\).
Osservazione facile: Se l'esponente piu' alto con cui appare una delle variabili e' dispari, allora la superficie non e' compatta. Perche'?
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