Compattificazione di Alexandroff e omeomorfismi
Propongo un esercizio che potrebbe essere uno spunto interessante una discussione piu' ampia.
Determinare se esiste uno spazio topologico $X$, compatto, tale che esiste un punto $p \in X$ con la proprieta' che $Y = X - \{p\}$ non e' compatto e la compattificazione a un solo punto di $Y$ non e' omeomorfa a $X$.
La risposta a questo esercizio e' un facile (farsi venire in mente l'esempio non e' difficile, forse la dimostrazione rigorosa lo e' un po' di piu') "Si, esiste uno spazio del genere": se non viene in mente a nessuno daro' un esempio tra un paio di post.
Piu' interessante potrebbe essere capire se ci sono condizioni abbastanza generali affinche' questo non succeda.
Determinare se esiste uno spazio topologico $X$, compatto, tale che esiste un punto $p \in X$ con la proprieta' che $Y = X - \{p\}$ non e' compatto e la compattificazione a un solo punto di $Y$ non e' omeomorfa a $X$.
La risposta a questo esercizio e' un facile (farsi venire in mente l'esempio non e' difficile, forse la dimostrazione rigorosa lo e' un po' di piu') "Si, esiste uno spazio del genere": se non viene in mente a nessuno daro' un esempio tra un paio di post.
Piu' interessante potrebbe essere capire se ci sono condizioni abbastanza generali affinche' questo non succeda.
Risposte
Uno spazio \(Y \neq \varnothing\) ammette la compattificazione \[Y \to Y^* = Y \cup \{\infty\}\]dove \(A \subseteq Y^*\) è aperto se e solo se \(A \subset Y\) è aperto oppure \(A = Y^*\). L'unico intorno di \(\infty\) è lo spazio \(Y^*\) (che dunque è banalmente compatto) e \(Y \subset Y^*\) è un aperto denso. Infine, lo spazio \(Y^*\) non è di Hausdorff.
Per trovare \(X\) con le proprietà richieste, consideriamo uno spazio non compatto \(Y\) la cui compattificazione di Alexandroff \(\hat Y\) sia di Hausdorff (ad esempio \(Y\) può essere qualsiasi varietà non compatta) e definiamo \(X = Y^*\). Lo spazio \(X \smallsetminus \{\infty\} \cong Y\) non è compatto e \(\hat Y \ncong X\) poiché uno è di Hausdorff, l'altro no.
Una condizione ragionevole su \(X\) perché questo fenomeno non si presenti è che \(X\) sia compatto e di Hausdorff (vedi Prop. 4.63 in Manetti, Topologia). Se vogliamo che \(X \smallsetminus \{p\}\) sia non compatto per ogni \(p \in X\), basta richiedere inoltre che \(X\) non abbia punti isolati.
Per trovare \(X\) con le proprietà richieste, consideriamo uno spazio non compatto \(Y\) la cui compattificazione di Alexandroff \(\hat Y\) sia di Hausdorff (ad esempio \(Y\) può essere qualsiasi varietà non compatta) e definiamo \(X = Y^*\). Lo spazio \(X \smallsetminus \{\infty\} \cong Y\) non è compatto e \(\hat Y \ncong X\) poiché uno è di Hausdorff, l'altro no.
Una condizione ragionevole su \(X\) perché questo fenomeno non si presenti è che \(X\) sia compatto e di Hausdorff (vedi Prop. 4.63 in Manetti, Topologia). Se vogliamo che \(X \smallsetminus \{p\}\) sia non compatto per ogni \(p \in X\), basta richiedere inoltre che \(X\) non abbia punti isolati.
Il mio controesempio e' il seguente e credo non concordi con le condizioni che proponi.
Sia $X$ l'orecchino hawaiiano, che e' in effetti compatto e di Hausdorff. Sia $p$ il punto in cui si incollano le infinite circonferenze. Allora $X - \{p\}$ e' unione disgiunta (nel senso topologico) di infinite circonferenze e la sua compattificazione di Alexandroff non e' l'orecchino hawaiiano, ma semplicemente il quoziente (topologico) $\mathbb{R} / \mathbb{Z}$ (tutti i numeri interi vengono identificati con un singolo punto mentre al resto di $\mathbb{R}$ non succede nulla). Sostanzialmente togliere il punto in cui le circonferenze si incollano fa dimenticare allo spazio che le circonferenze sono sempre piu' piccole.
Sia $X$ l'orecchino hawaiiano, che e' in effetti compatto e di Hausdorff. Sia $p$ il punto in cui si incollano le infinite circonferenze. Allora $X - \{p\}$ e' unione disgiunta (nel senso topologico) di infinite circonferenze e la sua compattificazione di Alexandroff non e' l'orecchino hawaiiano, ma semplicemente il quoziente (topologico) $\mathbb{R} / \mathbb{Z}$ (tutti i numeri interi vengono identificati con un singolo punto mentre al resto di $\mathbb{R}$ non succede nulla). Sostanzialmente togliere il punto in cui le circonferenze si incollano fa dimenticare allo spazio che le circonferenze sono sempre piu' piccole.
A me sembra, nell'esempio che citi, che \(X \smallsetminus \{p\}\) sia l'unione disgiunta di un'infinità numerabile di intervalli aperti, e la stessa pagina di Wikipedia ti dice che compattificando questo spazio si ottiene l'orecchino hawaiano.
Si..e' ovviamente unione disgiunta di intervalli aperti, non di circonferenze. E ora credo di capire perche' la sua compattificazione e' l'orecchino hawaiiano. Semplicemente un intorno del punto $\infty$ nella compattificazione e' complementare di un compatto e un compatto non puo' contenere infiniti intervallini nell'unione disgiunta.
In effetti, ora che ci penso, $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ non e' neanche compatto, giusto?
In effetti, ora che ci penso, $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ non e' neanche compatto, giusto?
\(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) è l'orecchino hawaiano, in particolare è compatto, mentre la compattificazione di Alexandroff dell'unione disgiunta di un'infinità numerabile di circonferenze è costituita dallo spazio\[\bigcup_{n = 1}^{+\infty} \{x^2 + y^2 = n^{-2}\} \cup (0,0) \subset \mathbb{R}^2\]
"elvis":
\(\mathbb{R}/\mathbb{Z}\) è l'orecchino hawaiano
Non sono d'accordo, l'orecchino hawaiano non è né localmente né semilocalmente semplicemente connesso, mentre \(\mathbb{R}/ \mathbb{Z}\) ha entrambe le proprietà. Direi che \(\mathbb{R}/ \mathbb{Z}\) non è compatto, basta prendere come ricoprimento un intorno aperto sufficientemente piccolo di \([0]\) assieme a \(\{]n,n+1[ : n \in \mathbb{Z}\}\).
Hai ragione: c'è solo una bigezione continua tra di essi (in una sola direzione), ma effettivamente non sono omeomorfi. Giustamente, \(\mathbb{R} / \mathbb{Z}\) non è compatto, il tuo controesempio va bene.
Scusate ma perché dite che $RR/ZZ$ non è compatto?? A me pare che sia omeomorfo a $S^1$.
Se non sbaglio posso definire $f: RR \to S^1$ come $f(x) := (cos(2\pix), sin(2\pix))$ che è costante sulle classi di $RR/ZZ$. Per cui, grazie alla proprietà fondamentale delle identificazioni, ho che $f$ si fattorizza ad una $\hat f : RR/ZZ \to S^1$ che mi pare essere proprio un omoeomorfismo.
Se non sbaglio posso definire $f: RR \to S^1$ come $f(x) := (cos(2\pix), sin(2\pix))$ che è costante sulle classi di $RR/ZZ$. Per cui, grazie alla proprietà fondamentale delle identificazioni, ho che $f$ si fattorizza ad una $\hat f : RR/ZZ \to S^1$ che mi pare essere proprio un omoeomorfismo.
In questo thread indichiamo con \( \mathbb{R}/\mathbb{Z}\) il quoziente topologico; quello di cui parli tu e' un quoziente di $\mathbb{R}$ su $\mathbb{Z}$ come suo sottogruppo.
Se $X$ e' uno spazio topologico e $A$ e' un sottoinsieme di $X$, allora \(X/A\) e' il quoziente sulla relazione di equivalenza data da $x ~ y$ se e solo se $x = y$ oppure $x,y \in A$, con la topologia quoziente. In pratica, $A$ viene collassato a un solo punto e tutto il resta resto uguale.
In particolare \( \mathbb{R}/\mathbb{Z}\) e' unione di infinite circonferenze, che moralmente sono gli intervalli tra gli interi, annodate tutte nello stesso punto, il punto su cui e' collassato $\mathbb{Z}$.
Se $X$ e' uno spazio topologico e $A$ e' un sottoinsieme di $X$, allora \(X/A\) e' il quoziente sulla relazione di equivalenza data da $x ~ y$ se e solo se $x = y$ oppure $x,y \in A$, con la topologia quoziente. In pratica, $A$ viene collassato a un solo punto e tutto il resta resto uguale.
In particolare \( \mathbb{R}/\mathbb{Z}\) e' unione di infinite circonferenze, che moralmente sono gli intervalli tra gli interi, annodate tutte nello stesso punto, il punto su cui e' collassato $\mathbb{Z}$.
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