Esercizi teorici
Ciao a tutti! Ho due esercizi di stampo teorico che non riesco a risolvere purtroppo 
Ecco il testo:
"Si consideri $ mathbb(R^4) $ dotato del prodotto scalare usuale. Si dica se le seguenti affermazioni sono sempre vere oppure no fornendo una dimostrazione nel caso in cui siano sempre vere ed un controesempio nel caso in cui non lo siano.
(a) Se $S,T$ sono sottospazi tali che $S$ sia contenuto in $T$ allora $T^_|_$ è contenuto in $S^_|_$
(b) Sia $S$ un sottospazio e $B$ una sua base ortogonale. Allora tutti gli elementi di $B$ sono ortogonali a tutti gli elementi di $S$. "
Ecco, lo so che servirebbe almeno un tentativo di soluzione, ma in questo caso... Sono veramente confuso! La (b) in realtà mi sembrerebbe vera anche solo per definizione di "base ortogonale", ma... Non saprei proprio buttare giù una dimostrazione vera e propria
Chiedo aiuto, se non la soluzione magari almeno dei suggerimenti...
Grazie!
P.S. Non sono riuscito a trovare il simbolo di "contenuto in"
Ecco il testo:"Si consideri $ mathbb(R^4) $ dotato del prodotto scalare usuale. Si dica se le seguenti affermazioni sono sempre vere oppure no fornendo una dimostrazione nel caso in cui siano sempre vere ed un controesempio nel caso in cui non lo siano.
(a) Se $S,T$ sono sottospazi tali che $S$ sia contenuto in $T$ allora $T^_|_$ è contenuto in $S^_|_$
(b) Sia $S$ un sottospazio e $B$ una sua base ortogonale. Allora tutti gli elementi di $B$ sono ortogonali a tutti gli elementi di $S$. "
Ecco, lo so che servirebbe almeno un tentativo di soluzione, ma in questo caso... Sono veramente confuso! La (b) in realtà mi sembrerebbe vera anche solo per definizione di "base ortogonale", ma... Non saprei proprio buttare giù una dimostrazione vera e propria
Chiedo aiuto, se non la soluzione magari almeno dei suggerimenti...
Grazie!
P.S. Non sono riuscito a trovare il simbolo di "contenuto in"
Risposte
A)
Devo far vedere che ogni elemento di Tortog sta in Sortog
Chiamo T* Tortog
$t in T* =>=0 AA x in T $ e quindi anche $y in S $
In poche parole, se uno sta in T* significa che è ortogonale ad ogni elemento di T, quindi è anche ortogonale ad ogni elemento di S (essendo S contenuto in T)
Devo far vedere che ogni elemento di Tortog sta in Sortog
Chiamo T* Tortog
$t in T* =>
In poche parole, se uno sta in T* significa che è ortogonale ad ogni elemento di T, quindi è anche ortogonale ad ogni elemento di S (essendo S contenuto in T)
Scusa, penso di essere vicino a capire, ma... Da dove salta fuori $yinS$?
E per la (b) non riusciresti a darmi un consiglio?
Ti ringrazio tantissimo per la risposta comunque
E per la (b) non riusciresti a darmi un consiglio?
Ti ringrazio tantissimo per la risposta comunque
Per y in S non c'è niente di speciale: ho detto che se vale per ogni elemento di T, vale a maggior ragione per ogni elemento di S, perché un elemento di S è anche elemento di T
La b) è falsa
pensa a R^2 con base canonica (1,0) e (0,1)
(0,1) non è ortogonale a (0,2)... anzi è ortogonale solo ai vettori del tipo (x,0)
pensa a R^2 con base canonica (1,0) e (0,1)
(0,1) non è ortogonale a (0,2)... anzi è ortogonale solo ai vettori del tipo (x,0)
"kobeilprofeta":
A) In poche parole, se uno sta in T* significa che è ortogonale ad ogni elemento di T, quindi è anche ortogonale ad ogni elemento di S (essendo S contenuto in T)
Ma in che modo questo implica che $T^(_|_)$ è contenuto in $S^(_|_)$ ? Chiaro che se $S$ sta in $T$, tutti gli elementi ortogonali a $T$ sono ortogonali anche a $S$, ma allora mi verrebbe da dire il contrario di quello che affermi tu
"kobeilprofeta":
La b) è falsa
pensa a R^2 con base canonica (1,0) e (0,1)
(0,1) non è ortogonale a (0,2)... anzi è ortogonale solo ai vettori del tipo (x,0)
Qui invece prendi $S = R^2$ ? Ma allora il suo ortogonale sono i vettori del tipo ${(x,0),(0,y) : x,yinR}$ ? E sono praticamente infiniti, cioè $B$ , l'ortogonale di S, è infinito?
Ti ringrazio tantissimo!
"Henry!":
[quote="kobeilprofeta"]
A) In poche parole, se uno sta in T* significa che è ortogonale ad ogni elemento di T, quindi è anche ortogonale ad ogni elemento di S (essendo S contenuto in T)
Ma in che modo questo implica che $T^(_|_)$ è contenuto in $S^(_|_)$ ? Chiaro che se $S$ sta in $T$, tutti gli elementi ortogonali a $T$ sono ortogonali anche a $S$, ma allora mi verrebbe da dire il contrario di quello che affermi tu
"kobeilprofeta":
La b) è falsa
pensa a R^2 con base canonica (1,0) e (0,1)
(0,1) non è ortogonale a (0,2)... anzi è ortogonale solo ai vettori del tipo (x,0)
Qui invece prendi $S = R^2$ ? Ma allora il suo ortogonale sono i vettori del tipo ${(x,0),(0,y) : x,yinR}$ ? E sono praticamente infiniti, cioè $B$ , l'ortogonale di S, è infinito?
Ti ringrazio tantissimo!
[/quote]A)
credo tu stia andando in confusione
ti faccio un esempio random. Chiama E l'insieme di tutte le persone europee, I di quelle italiane. Chiama E* le bevande che piacciano a tutti gli europei e I* le bevande che piacciono a tutti gli italiani... è chiaro che:
1. $I \sub E$ 2. $E* \sub I*$
Una bevanda che piace a tutti gli europei piace in particolare a tutti gli italiani. Non è vero il viceversa: magari il vinio non lo bevono in germania.
\
Il (b) mi dice che se prendo un qualsiasi elemento della base ortonormale e un qualsiasi elemento dell'inisieme, questi due sono ortogonali. Io ti dico che è falso. Come controesempio ti porto la base $B={(0,1),(1,0)}$ di $RR^2$ e ti prendo come vettore $(1,2)$, che non è ortogonale a nessun elemento della base
Fantastico, grazie infinite!
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