Retta passante per un punto e ortogonale a una retta data
Ciao a tutti!
ho alcuni problemi con questo esercizio di geometria:
ho svolto il primo punto con la classica formula y-y1 = m(x-x1) e mi è venuta fuori la retta:
s: -2x+y+2=0
come posso verificare di aver fatto bene l'esercizio?
se non avessi voluto risolvere l'esercizio col coeff angolare, come avrei potuto fare?
il secondo punto come si fa?
grazie in anticipo a tutti!
ho alcuni problemi con questo esercizio di geometria:
Fissato nel piano della geometria elementare un riferimento cartesiano monometrico ortogonale,
si consideri la retta r : x + 2y − 1 = 0.
(i) Rappresentare la retta s ortogonale a r e passante per il punto A(1, 0).
(ii) Determinare una retta che abbia distanza radical 5 da r
ho svolto il primo punto con la classica formula y-y1 = m(x-x1) e mi è venuta fuori la retta:
s: -2x+y+2=0
come posso verificare di aver fatto bene l'esercizio?
se non avessi voluto risolvere l'esercizio col coeff angolare, come avrei potuto fare?
il secondo punto come si fa?
grazie in anticipo a tutti!
Risposte
ALTERNATIVA
(i)
Sia $\alpha:=y$
$r:{(x=1-2*\alpha),(y=\alpha):}$
quindi posso scrivere $r$ in cosídetta forma parametrica, cioè
$r=(1,0)+\alpha+(-2,1)$
Da questa forma si capisce che r passa per il pto (1,0) e che ha direzione (-2,1). Facendo variare $\alpha in RR$ si ottengono tutti i pti della retta $r$.
Ora la retta $s$ avrà coefficiente angolare (a,b) t.c. $a*(-2)+b*1=0$, cioè $b=2a$, chiamando $\beta:=a$ ho che la direzione di $s$ è (1,2) e posso scrivere
$s:(1,0)+\beta*(1,2)$
Ora basta riportarla in forma cartesiana:
${(x=1+\beta),(y=0+2*\beta):}$ ricavando beta nella prima e sostituendo nella seconda ho
$y=2*(x-1)=2x-2$
(i)
Sia $\alpha:=y$
$r:{(x=1-2*\alpha),(y=\alpha):}$
quindi posso scrivere $r$ in cosídetta forma parametrica, cioè
$r=(1,0)+\alpha+(-2,1)$
Da questa forma si capisce che r passa per il pto (1,0) e che ha direzione (-2,1). Facendo variare $\alpha in RR$ si ottengono tutti i pti della retta $r$.
Ora la retta $s$ avrà coefficiente angolare (a,b) t.c. $a*(-2)+b*1=0$, cioè $b=2a$, chiamando $\beta:=a$ ho che la direzione di $s$ è (1,2) e posso scrivere
$s:(1,0)+\beta*(1,2)$
Ora basta riportarla in forma cartesiana:
${(x=1+\beta),(y=0+2*\beta):}$ ricavando beta nella prima e sostituendo nella seconda ho
$y=2*(x-1)=2x-2$
ALTERNATIVA
(i)
Sia $\alpha:=y$
$r:{(x=1-2*\alpha),(y=\alpha):}$
quindi posso scrivere $r$ in cosídetta forma parametrica, cioè
$r=(1,0)+\alpha+(-2,1)$
Da questa forma si capisce che r passa per il pto (1,0) e che ha direzione (-2,1). Facendo variare $\alpha in RR$ si ottengono tutti i pti della retta $r$.
Ora la retta $s$ avrà coefficiente angolare (a,b) t.c. $a*(-2)+b*1=0$, cioè $b=2a$, chiamando $\beta:=a$ ho che la direzione di $s$ è (1,2) e posso scrivere
$s:(1,0)+\beta*(1,2)$
Ora basta riportarla in forma cartesiana:
${(x=1+\beta),(y=0+2*\beta):}$ ricavando beta nella prima e sostituendo nella seconda ho
$y=2*(x-1)=2x-2$
(i)
Sia $\alpha:=y$
$r:{(x=1-2*\alpha),(y=\alpha):}$
quindi posso scrivere $r$ in cosídetta forma parametrica, cioè
$r=(1,0)+\alpha+(-2,1)$
Da questa forma si capisce che r passa per il pto (1,0) e che ha direzione (-2,1). Facendo variare $\alpha in RR$ si ottengono tutti i pti della retta $r$.
Ora la retta $s$ avrà coefficiente angolare (a,b) t.c. $a*(-2)+b*1=0$, cioè $b=2a$, chiamando $\beta:=a$ ho che la direzione di $s$ è (1,2) e posso scrivere
$s:(1,0)+\beta*(1,2)$
Ora basta riportarla in forma cartesiana:
${(x=1+\beta),(y=0+2*\beta):}$ ricavando beta nella prima e sostituendo nella seconda ho
$y=2*(x-1)=2x-2$
ii)
Visto che ci dice di determinare una retta generica, per semplicità potresti prendere una retta parallela a quella data, quindi con lo stesso coeff. direttore, e per il parallelismo abbiamo che la distanza tra loro è costante per ogni coppia di punti delle due rette.
Basta prendere un punto di r, che sai com'è "fatto", un punto generico di s, e imporre che la loro distanza sia pari a $rad(5)$.
Visto che ci dice di determinare una retta generica, per semplicità potresti prendere una retta parallela a quella data, quindi con lo stesso coeff. direttore, e per il parallelismo abbiamo che la distanza tra loro è costante per ogni coppia di punti delle due rette.
Basta prendere un punto di r, che sai com'è "fatto", un punto generico di s, e imporre che la loro distanza sia pari a $rad(5)$.
oppure
ii)
hai $r: y=-1/2*x+1/2$
la tua retta $t$ deve essere parallela ad r e quindi della forma $y=-1/2*x-c$ i.e. $x+2y+c=0$
in forma parametrica sarà
$t:(-c,0)+\gamma*(-2,1)$ quindi un generico pto di t ha coordinate $(-c-2*\gamma,\gamma)$.
Per trovare la distanza di r da t, prendo un pto a caso su r (ad esempio (3,1) ) e calcolo la distanza al quadrato dal generico pto di t. Poi minimizzo questa distanza.
$d^2=(3+c+2\gamma)^2+(1-\gamma)^2$
Derivo
$4*(3+c+2\gamma)+2*(1-\gamma)>0$ $12+4c+8\gamma+2-2\gamma>0$ sse $\gamma>-frac{14-4c}{6}$ quindi la distanza al quadrato ha un minimo per $\gamma=-frac{7-2c}{3}$
ii)
hai $r: y=-1/2*x+1/2$
la tua retta $t$ deve essere parallela ad r e quindi della forma $y=-1/2*x-c$ i.e. $x+2y+c=0$
in forma parametrica sarà
$t:(-c,0)+\gamma*(-2,1)$ quindi un generico pto di t ha coordinate $(-c-2*\gamma,\gamma)$.
Per trovare la distanza di r da t, prendo un pto a caso su r (ad esempio (3,1) ) e calcolo la distanza al quadrato dal generico pto di t. Poi minimizzo questa distanza.
$d^2=(3+c+2\gamma)^2+(1-\gamma)^2$
Derivo
$4*(3+c+2\gamma)+2*(1-\gamma)>0$ $12+4c+8\gamma+2-2\gamma>0$ sse $\gamma>-frac{14-4c}{6}$ quindi la distanza al quadrato ha un minimo per $\gamma=-frac{7-2c}{3}$
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