Esercizio geometria tangenza retta-sfera
Ciao a tutti, è da qualche giorno che sto impazzendo con questo esercizio di geometria. A me sembra che manchi un dato fondamentale: il punto di tangenza tra la retta e la sfera, senza il quale non riesco a risolvere l'esercizio.
Vi propongo il testo:
"Determinare le equazioni delle rette passanti per il punto$ M = (0, 0, 1) $ , parallele al piano $ π: x+z = 0 $ e tangenti alla sfera di centro $ C = (0,4,2) $ e raggio pari a 2."
Io so che una retta nello spazio è individuata da due piani;
Il primo piano posso trovarlo facilmente considerando la condizione di parallelismo con il piano $ π: x+z = 0 $; ovvero deve essere un piano parallelo a π passante per (0,0,1);
trovo così il piano x+z-1=0
ma per determinare l'altro piano non so proprio come fare!
Vi propongo il testo:
"Determinare le equazioni delle rette passanti per il punto$ M = (0, 0, 1) $ , parallele al piano $ π: x+z = 0 $ e tangenti alla sfera di centro $ C = (0,4,2) $ e raggio pari a 2."
Io so che una retta nello spazio è individuata da due piani;
Il primo piano posso trovarlo facilmente considerando la condizione di parallelismo con il piano $ π: x+z = 0 $; ovvero deve essere un piano parallelo a π passante per (0,0,1);
trovo così il piano x+z-1=0
ma per determinare l'altro piano non so proprio come fare!
Risposte
se è tangente alla sfera vuol dire che la distanza dal centro è pati a $2$
esatto! la distanza dal centro della sfera al piano tangente che sto cercando deve essere 2,
altre informazioni che ho è che il piano deve essere:
- ortogonale al vettore che unisce il centro della sfera al punto di tangenza (che non ho );
- passare per per il punto M (0,0,1)
ma queste informazioni non mi bastano per determinare il piano che sto cercando!!
Manca qualcosa che non riesco a capire!
altre informazioni che ho è che il piano deve essere:
- ortogonale al vettore che unisce il centro della sfera al punto di tangenza (che non ho
);- passare per per il punto M (0,0,1)
ma queste informazioni non mi bastano per determinare il piano che sto cercando!!
Manca qualcosa che non riesco a capire!
Un piano di $R^3$ ha 3-2=1 equazione; è dunque nella forma $ax+by+cz+d=0$
La distanza di un punto (x0,y0,z0) da un iperpiano è
$dist=frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{sqrt(a^2+b^2+c^2)}$
Devo imporre che questa distanza sia uguale a 2.
ottengo
$a*0+b*0+c*1+d=2*sqrt(a^2+b^2+c^2)$
Posso elevare alla seconda (impongo c>0) e ottengo
$4a^2+4b^2+3c^2-d=0$
La distanza di un punto (x0,y0,z0) da un iperpiano è
$dist=frac{ax_0+by_0+cz_0+d}{sqrt(a^2+b^2+c^2)}$
Devo imporre che questa distanza sia uguale a 2.
ottengo
$a*0+b*0+c*1+d=2*sqrt(a^2+b^2+c^2)$
Posso elevare alla seconda (impongo c>0) e ottengo
$4a^2+4b^2+3c^2-d=0$
Ok, fino a qui ci sono, anch'io ho pensato di procedere in questo modo, ma rimangono un sacco di incognite...
il libro mi dà una soluzione precisa! trova due piani che soddisfano la richiesta:
1) $6x+7y−6z+6 = 0$
2) $ 2x−y−2z+2 = 0 $
che intersecato ognuno con il piano $ x+z-1 =0 $ danno le rette cercate.
il libro mi dà una soluzione precisa! trova due piani che soddisfano la richiesta:
1) $6x+7y−6z+6 = 0$
2) $ 2x−y−2z+2 = 0 $
che intersecato ognuno con il piano $ x+z-1 =0 $ danno le rette cercate.
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