Dipendenza lineare e parallelismo
scusate ma non è un controsenso che due vettori paralleli siano dipendenti
bar(v) t + bar(u) g = 0 da cui bar(v) = -bar(u)(g/t)
ed allo stesso tempo perché due vettori siano paralleli devono essere proporzionali?
bar(v) t/g = bar(u) da cui bar(v) = bar(u)(g/t)
bar(v) t + bar(u) g = 0 da cui bar(v) = -bar(u)(g/t)
ed allo stesso tempo perché due vettori siano paralleli devono essere proporzionali?
bar(v) t/g = bar(u) da cui bar(v) = bar(u)(g/t)
Risposte
?
Due vettori sono dipendenti sse sono proporzionali
<=
Supponiamo che $v$ e $w$ siano proporzionali, allora vale per qualche k $kv=w$
allora $0=kv-kv=1*w-k*v$
$1$ e $k$ sono due coefficienti non nulli che combinati mi danno il vettore nullo
=>
Supponiamo che siano dipendenti
allora esistono $\alpha$ e $\beta$ non entrambi nulli t.c.
$\alpha*v+\beta*w=0$ e quindi $w=-frac{\alpha}{\beta}*v$ e i due vettori sono proporzionali
Due vettori sono dipendenti sse sono proporzionali
<=
Supponiamo che $v$ e $w$ siano proporzionali, allora vale per qualche k $kv=w$
allora $0=kv-kv=1*w-k*v$
$1$ e $k$ sono due coefficienti non nulli che combinati mi danno il vettore nullo
=>
Supponiamo che siano dipendenti
allora esistono $\alpha$ e $\beta$ non entrambi nulli t.c.
$\alpha*v+\beta*w=0$ e quindi $w=-frac{\alpha}{\beta}*v$ e i due vettori sono proporzionali
Prova a fare un esempio numerico , per esempio due rette dove la prima ha $v_r= ((1), (1),(1)) $ e la seconda $v_s=((2),(2),(2)). $
Come ti hanno mostrato sopra non è un controsenso, anzi, se pensi all 'interpretazione "geometrica" del th. di Rouche Capelli ti è chiaro che le direzioni non si intersecano e quindi il sistema è impossibile..
Come ti hanno mostrato sopra non è un controsenso, anzi, se pensi all 'interpretazione "geometrica" del th. di Rouche Capelli ti è chiaro che le direzioni non si intersecano e quindi il sistema è impossibile..
si ma la combinazione lineare non impone che ci siano solamente dei + nella formula?
Anche un segno - può generare una combinazione lineare
il fatto è che i coefficienti possono essere negativi
scrivere $\alpha*v-\beta*w$ è uguale ad $\alpha*v+\gamma*w$ dove ho chiamato $\gamma:=-\beta$
scrivere $\alpha*v-\beta*w$ è uguale ad $\alpha*v+\gamma*w$ dove ho chiamato $\gamma:=-\beta$
dunque nella realtà dei fatti due vettori non sono paralleli se proporzionali, ma uno deve essere proporzionale all'opposto dell'altro?
ad esempio non può essere kbar(v) = bar(w) ma (-k)bar(v) = bar(w) ?
l'esempio lampante secondo me è la dimostrazione della formula parametrica di una retta, perché un segmento AB sia parallelo al vettore bar(v) io posso imporre l'uguaglianza bar(v)t = bar(AB) e dunque bar(v)t - bar(AB) = 0 , oppure potrei imporre la dipendenza lineare tra bar(v)t + bar(AB) = 0, e la cosa per me non ha davvero senso...
ad esempio non può essere kbar(v) = bar(w) ma (-k)bar(v) = bar(w) ?
l'esempio lampante secondo me è la dimostrazione della formula parametrica di una retta, perché un segmento AB sia parallelo al vettore bar(v) io posso imporre l'uguaglianza bar(v)t = bar(AB) e dunque bar(v)t - bar(AB) = 0 , oppure potrei imporre la dipendenza lineare tra bar(v)t + bar(AB) = 0, e la cosa per me non ha davvero senso...
ho pensato che in effetti il segno non va ad incidere sul parallelismo, perché qualunque sia il verso di un vettore se è proporzionale all'altro questi sono comunque paralleli...
in ogni caso io penso che siano due modi diversi per esprimere la cosa
in ogni caso io penso che siano due modi diversi per esprimere la cosa
esattamente. 
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