Geometria e Algebra Lineare

Al variare del parametro $k \in \mathbb{R}$ considera la matrice: $A_k=((5-k,9,4-k),(0,k-5,0),(4-k,3,6-k))$ 1) trova gli autovalori di $A_k$ 2) stabilisci per quali valori di $k$ la matrice è diagonalizzabile 1) Per trovare gli autovalori devo porre: $A_k*v=\lambda*v$ quindi: $((5-k,9,4-k),(0,k-5,0),(4-k,3,6-k))*((x),(y),(z))=((\lambda x),(\lambda y),(\lambda z))$ Portando la matrice a sistema e rislvendolo ottengo la matrice: $((5-k-\lambda,9,4-k),(0,k-5-\lambda,0),(4-k,3,6-k-\lambda))$ Per conoscere gli autovalori, devo porre il determinante di tale matrice a zero: $det=0$ Ottengo un ...

Buongiorno, non capisco come trovare una base di un intersezione di due sottospazi. Ho un esercizio dove mi fa calcolare prima le basi di U e V e poi mi chiede di calcolare una base di U+V e una di U∩V Le basi dei due sottospazi che ho trovato sono: V= U= Per calcolare la base di U+V ho fatto come mostrato nel file in allegato. Per calcolare quella di U∩V come devo fare? Potreste farmi vedere i passaggi da compiere? Grazie a tutti per ...

Buonasera ragazzi, premettendo che teoricamente e praticamente (con matrici senza parametro) so come si studia la diagonalizzabilità di una matrice. (Trovare gli autovalori, calcolarne la molteplicità geometrica e sommare le molteplicità geometriche dei vari autovalori che si è trovati). La mia difficoltà sta nel trovare gli autovalori in una matrice parametrica (cioè risolvere l'equazione che viene fuori dal calcolo del determinante) potete darmi una mano? Ecco a voi il testo: ...

Buonasera, in questo esercizio devo trovare un'applicazione lineare $L$ da $RR^3 -> RR^3$ tale che: sia iniettiva e tale che $L(U) = W$ dove $U = { x_1 - 3 x_2 - 3x_3 = 0}$ e $W = {2x_1 + 2x_2 + x_3 = 0}$. Come si procede in questi casi? Grazie

ciao raga qualcuno può' spiegarmi questo sistema parametrico com'e' risolto ecco l'esercizio ed eccola la soluzione non capisco come si fa la parte indicata con la freccia gialla

Se ${v_1,.....,v_k}$ è un sistema di generatori di $V$, esistono vettori di $V$ che non sono combinazione lineare dei vettori $v_1$,.....,$v_k$? Ci sono tanti esercizi che, ho svolto, dove un vettore di un generaore di $V$ non era combinazione lineare. Ma in questo caso?

è possibile che un autovalore di un endomorfismo abbia molteplicità geometrica uguale a $0$? Non so da dove partire

Ciao a tutti! Ho bisogno di aiuto. Non capisco come si fa ad ottenere il complemento ortogonale di un sottospazio. Allora, so che il complemento ortogonale è l'insieme di tutti i vettori ortogonali al sottospazio dato. Quindi, preso un vettore x qualsiasi e pongo la condizione che sia ortogonale a ogni vettore del sottospazio dato. Faccio un sistema in cui pongo uguale a 0 il prodotto scalare di x con ogni vettore della base del sottospazio. Quello che trovo però non è ancora il complemento ...

è possibile che le matrici $A=((2, 5, 0), (5, 1, 4), (0, 4, 3))$ e $B=((1, 1, -1), (1, 1, 0), (-1, 0, 0)) $ definiscano lo stesso prodotto scalare rispetto a basi diverse? Non riesco a capire come procedere...

Avrei un problema con un esercizio che mi chiede di trovare due diverse matrici diagonali partendo da una matrice A |-7 -3 0| | 9 5 0| | 3 1 2| Della quale so già che è diagonalizzabile. Il testo chiede: Determinare due diverse matrici H1 e H2 tali che H1^-1 AH e H2^-1 AH siano diagonali. Non saprei come svolgerlo, mi sapreste dare qualche dritta? Grazie a tutti!

Ciao a tutti non so come rendere una matrice ortogonale, questo è l'esercizio. Stabilire il valore dei parametri a, b, c affinchè la seguente matrice sia ortogonale : $( (sqrt(2)/(2),-sqrt(2)/(2), c), (-sqrt(2)/(2),a,0), (0,b,1) )$ Non so come procedere e che metodo utilizzare..qualcuno mi potrebbe dare una mano sul metodo risolutivo?

Buonasera, sto svolgendo un esercizio dove mi viene richiesto di calcolare gli autovalori e autovettori della matrice |2 1 0| |1 2 0| |3 1 3| e poi di stabilire se è diagonalizzabile. Ho calcolato gli autovalori e autovettori, ho trovo solo l'autovalore 3 (con molteplicità algebrica e geometrica = 1) e il suo autovettore. Quello che mi sto chiedendo è: sbaglio a trovare gli autovalori o la risposta è che non è diagonalizzabile? Ringrazio tutti per la disponibilità.

Considera l'applicazione lineare $T: \mathbb{R}_3 [t] \rightarrow \mathbb{R}^2 $ tale che $T(p(t))=((p(1)),(p'(2)))$ Calcola la dimensione del nucleo e dell'immagine di $T$. Non so proprio da dove partire...

Al variare dei parametri $h, k \in \mathbb{R} $ stabilisci se il sistema ${x+y+z=1; hx+hy+hz=k-5$ è compatibile. Ho lavorato a questa maniera, ,ma non so sia giusto: 1) porto il sistema in forma matriciale: $A = ((1, 1, 1),(h, h, h))$ $A^1 = ((1, 1, 1, 1),(h, h, h, k-5))$ 2) utilizzo il teorema di Rouchè-Capelli per verificare la compatibilità 3) se il rango delle due matrici è uguale, allora il sistema è compatibile 4) fatto le opportune semplificazione alle due matrici, calcolo il rango, calcolando prima il determinante: ...

Salve! Ho da risolvere un esercizio preso da un compitino di Geometria e mi chiedevo se potevate essermi di aiuto Sia $ U= Span{u}, $ con $ u=(1,-1,2) in R^3 $. Sia inoltre $ Pi _lambda = { (x,y,z) in R^3 : lambda x + (1-lambda)y -z=0} lambda in R $ Determinare i $ lambda in R $ per cui $ R^3 = U o+ Pi_lambda $. Ora, premetto che sono ancora un niubbo totale con questi esercizi (per inciso, di es. sulle somme dirette di sottospazi non ne ho fatto nemmeno uno). Pertanto chiedo a quei poveri cristi che vorranno aiutarmi di non prendere nulla per ...

salve a tutti vedendo alcuni esercizi mi sono sorti dei dubbi= esempio: calcolo dello spazio nullo di una matrice che chiamo A( ovvero l'insieme di tutti i vettori z appartenenti a $ R^n$ t.c $A* z = 0 $ dove $0$ indica il vettore composto da n 0. avendo $A=((1,0),(0,1),(0,0)) $ l'esercizio è svolto nel seguente modo: chiamo e1 la prima colonna $e1=((1),(0),(0))$ ed e2 la seconda colonna $e2=((0),(1),(0))$ quindi $A=((e1,e2))$ sapendo che i vettori z sono formati da ...

Salve, sono nuovo del forum e volevo chiedervi se sto procedendo bene su questo esercizio: -è possibile completare $t-5 , t^2+1$ ad una base di $R_2 [t]$ ? Sto procedendo a questa maniera: Ho scritto $t-5 , t^2+1$ come $(t-5 , t^2+1)$ quindi $(t , t^2)+(-5,+1)=(1,t)*t+(-5,1)$ però mi sono subito bloccato perché non so se sto procedendo nel modo giuso...

Ciao a tutti ragazzi, a lezione mi è stato detto che se si dispone di vettori linearmente indipendenti, in seguito ad un loro allungamento arbitrario, essi resteranno comunque linearmente indipendenti. Ad esempio se dispongo della base canonica di R^3, posso allungarli inserendo delle coordinate in più a piacere senza alterare la loro indipendenza. Per i vettori dipendenti invece, essi resteranno dipendenti in seguito ad accorciamento. Ora il mio dubbio è: cosa succede quando vettori ...

altro esercizio , che non capisco al variare del parametro k $in$ R , si consideri la matrice $A_k$ = ((1,0,0,0),(k-3,2-k,0,-k),(0,0,1,0),(2-k,k,0,k+2)) 1) determinare l'insieme D= { k $in$ R : $A_k$ é diagonalizzabile } 2) per k $in$ D, determinare una base di $R^4$ formata da autovettori di $A_k$

Salve a tutti Vorrei chiarezza su alcuni miei dubbi: -È vero che i vettori sono casi particolari di matrici, ma che il contrario è falso nel senso che è sbagliato dire che una matrice è un insieme di vettori (ovvero che è composta da vettori). - È sbagliato considerare una matrice con una sola riga( o con una sola colonna) come un vettore e quindi come un insieme di elementi che identificano un punto?