Allungamenti di vettori linearmente indipendenti
Ciao a tutti ragazzi, a lezione mi è stato detto che se si dispone di vettori linearmente indipendenti, in seguito ad un loro allungamento arbitrario, essi resteranno comunque linearmente indipendenti. Ad esempio se dispongo della base canonica di R^3, posso allungarli inserendo delle coordinate in più a piacere senza alterare la loro indipendenza. Per i vettori dipendenti invece, essi resteranno dipendenti in seguito ad accorciamento. Ora il mio dubbio è: cosa succede quando vettori indipendenti sono sottoposti ad accorciamento? Resteranno sicuramente indipendenti? Mi scuso per i termini poco formali, ma non riesco a ritrovare materiale sull'argomento, è un concetto che ho preso dagli appunti.
Risposte
Ciao! 
Prima avevo completamente frainteso il senso del posto, mi scuso. Comunque provo a rispondere: considera $(1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1) \in \mathbb{R^4}$, sono linearmente indipendenti, tuttavia $(1, 1, 1), (1, 1, 1) \in \mathbb{R^3}$ sono linearmente dipendenti. Non penso si possa dire di più sull'argomento: insomma se accorci non è detto che la lineare indipendenza si conservi.
Più formalmente: considera $V = \mathbb{R^n}$ e $W = \mathbb{R^k}$ con $k < n$, considera l'applicazione lineare $\pi: V \to W$ che manda il vettore $(a_1, ..., a_k, ..., a_n)$ in $(a_1, ..., a_k)$, il ker di tale mappa ha dimensione $n-k$[nota]sia$ v = (a_1, ..., a_k, ..., a_n) \in Ker(\pi)$: $\pi(v) = 0 \iff (a_1, ..., a_k) = 0 \iff a_1 = ... = a_k = 0$, quindi le altre $n-k$ componenti di $v$ sono libere[/nota], la dimensione è positiva perché $k < n$, segue che l'applicazione non è iniettiva e quindi non conserva la lineare indipendenza.
Prima avevo completamente frainteso il senso del posto, mi scuso. Comunque provo a rispondere: considera $(1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1) \in \mathbb{R^4}$, sono linearmente indipendenti, tuttavia $(1, 1, 1), (1, 1, 1) \in \mathbb{R^3}$ sono linearmente dipendenti. Non penso si possa dire di più sull'argomento: insomma se accorci non è detto che la lineare indipendenza si conservi.
Più formalmente: considera $V = \mathbb{R^n}$ e $W = \mathbb{R^k}$ con $k < n$, considera l'applicazione lineare $\pi: V \to W$ che manda il vettore $(a_1, ..., a_k, ..., a_n)$ in $(a_1, ..., a_k)$, il ker di tale mappa ha dimensione $n-k$[nota]sia$ v = (a_1, ..., a_k, ..., a_n) \in Ker(\pi)$: $\pi(v) = 0 \iff (a_1, ..., a_k) = 0 \iff a_1 = ... = a_k = 0$, quindi le altre $n-k$ componenti di $v$ sono libere[/nota], la dimensione è positiva perché $k < n$, segue che l'applicazione non è iniettiva e quindi non conserva la lineare indipendenza.
Ti ringrazio e questo mi pone un altro problema: questa proposizione relativa all'allungamento noi L'-abbiamo usata nella dimostrazione del teorema degli orlati per dimostrare che se il rango di una matrice è r allora esiste un minore di ordine r con determinante non nullo. Utilizzando il fatto che il rango è r, si riescono a trovare r righe e colonne indipendenti nella matrice A e quindi, accorciandole, anche nel minore di ordine r. Visto che allora non è detto che accorciando dei vettori indipendenti essi restino tali, come posso giustificare che le righe e colonne del minore sono indipendenti?
"nereide":
Ti ringrazio e questo mi pone un altro problema: questa proposizione relativa all'allungamento noi L'-abbiamo usata nella dimostrazione del teorema degli orlati per dimostrare che se il rango di una matrice è r allora esiste un minore di ordine r con determinante non nullo. Utilizzando il fatto che il rango è r, si riescono a trovare r righe e colonne indipendenti nella matrice A e quindi, accorciandole, anche nel minore di ordine r. Visto che allora non è detto che accorciando dei vettori indipendenti essi restino tali, come posso giustificare che le righe e colonne del minore sono indipendenti?
Questo è un contesto differente: nella matrice tu puoi applicare operazioni elementari che scambiano le componenti di un vettore, mentre nel messaggio che ho scritto prima le componenti di un vettore sono fisse, cioè non posso scambiarle.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo