Trovare un'applicazione lineare iniettiva

[RuCoLa1]

Buonasera,
in questo esercizio devo trovare un'applicazione lineare $L$ da $RR^3 -> RR^3$ tale che: sia iniettiva e tale che $L(U) = W$ dove $U = { x_1 - 3 x_2 - 3x_3 = 0}$ e $W = {2x_1 + 2x_2 + x_3 = 0}$. Come si procede in questi casi?
Grazie

[ciampax]

Sotto quali condizioni una applicazione lineare risulta iniettiva?
E dire che $L(U)=W$ cosa implica?
Rispondere a queste due domande ti permette di ragionare sulle dimensioni e le basi di $U$ e $W$ (e non solo) e capire come muoverti.

[RuCoLa1]

E' iniettiva se $L(v) = 0$ allora $v$ deve essere solo 0. W deve essere l'immagine di tale applicazione...non so come andare avanti...ho provato a fare così ma non mi ha portato a molto: $W={((1),(0),(-2)),((0),(1),(-2))} ; U = {((3),(1),(0)),((3),(0),(1))} -> L(U) = L(h((3),(1),(0)) + s((3),(0),(1))) = L(h((3),(1),(0))) + L(s((3),(0),(1))) =h(L((3),(1),(0))) + s(L((3),(0),(1))) = a((1),(0),(-2))+b((0),(1),(-2))$ uguagliando $L((3),(1),(0)) = ((1),(0),(-2))$ e $L((3),(0),(1)) = ((0),(1),(-2))$ pensavo di ottenere qualcosa ma non so come andare avanti.