Applicazioni lineari
Considera l'applicazione lineare $T: \mathbb{R}_3 [t] \rightarrow \mathbb{R}^2 $ tale che $T(p(t))=((p(1)),(p'(2)))$
Calcola la dimensione del nucleo e dell'immagine di $T$.
Non so proprio da dove partire...
Calcola la dimensione del nucleo e dell'immagine di $T$.
Non so proprio da dove partire...
Risposte
Inizia col calcolarti la matrice associata a $T$.
Innanzitutto: cosa fa l'applicazione ad un generico polinomio di grado al più $3$ ? Semplicemente, lo prende e lo manda in un vettore di $RR^2$ dove nella prima componente c'è il polinomio valutato in $1$, mentre nel secondo c'è la derivata valutata in $2$.
Utilizziamo l'isomorfismo $varphi_n=R_n[X]->R^(n+1)[X]$ per poter così lavorare con n-uple di vettori e non con polinomi.
Questo ci permette di esprime il generico polinomio di grado $3$ come un vettore di $4$ componenti:
$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ lo possiamo scrivere (grazie a $varphi$) $[a_0,a_1,a_2,a_3]^T$.
Ora sei in grado di scrivere la definizione dell'applicazione per componenti, e quindi anche la matrice associata rispetto alla base canonica. Poi il procedimento è il solito.
Edit: Shocker mi ha preceduto
Utilizziamo l'isomorfismo $varphi_n=R_n[X]->R^(n+1)[X]$ per poter così lavorare con n-uple di vettori e non con polinomi.
Questo ci permette di esprime il generico polinomio di grado $3$ come un vettore di $4$ componenti:
$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ lo possiamo scrivere (grazie a $varphi$) $[a_0,a_1,a_2,a_3]^T$.
Ora sei in grado di scrivere la definizione dell'applicazione per componenti, e quindi anche la matrice associata rispetto alla base canonica. Poi il procedimento è il solito.
Edit: Shocker mi ha preceduto
"feddy":
Innanzitutto: cosa fa l'applicazione ad un generico polinomio di grado al più $3$ ? Semplicemente, lo prende e lo manda in un vettore di $RR^2$ dove nella prima componente c'è il polinomio valutato in $1$, mentre nel secondo c'è la derivata valutata in $2$.
Utilizziamo l'isomorfismo $varphi_n=R_n[X]->R^(n+1)[X]$ per poter così lavorare con n-uple di vettori e non con polinomi.
Questo ci permette di esprime il generico polinomio di grado $3$ come un vettore di $4$ componenti:
$p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$ lo possiamo scrivere (grazie a $varphi$) $[a_0,a_1,a_2,a_3]^T$.
Ora sei in grado di scrivere la definizione dell'applicazione per componenti, e quindi anche la matrice associata rispetto alla base canonica. Poi il procedimento è il solito.
Edit: Shocker mi ha preceduto
Vediamo se ho capito è sto procedendo nel modo giusto.
1) scrivo $p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2$ e mi fermo perché siamo in $R^2$
2) da qui calcolo $p(1) = a_0 + a_1 + a_2$ e $p'(2)=a_1 + 4a_2$
3) comincio a calcolarmi la matrice associata attraverso le basi canoniche di $T$:
$T(e_1)=T(1,0,0) = (1, 0)$
$T(e_2)=T(0,1,0) = (1, 1)$
$T(e_3)=T(0,0,1) = (1, 2)$
4) la matrice associata sarà $A=((1,0),(1,1),(1,2))$
Spero sia giusto
Edit: $T((a_0),(a_1),(a_2),(a_3)) = ((p(1)),(p'(2)))$
dove $p(1)=(a_0 + a_1 + a_2 + a_3)$ e $p'(2)=(a_1 + 2a_2 + 6a_3)$
Prima ho fatto altri calcoli... errore mio
"pietro123":
Vediamo se ho capito è sto procedendo nel modo giusto.
1) scrivo $p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2$ e mi fermo perché siamo in $R^2$
No, non devi fermarti. A te interessano i polinomi di grado al più tre.
Ok, ho visto ora l'edit
Per cui $T[x,y,z]^T=[a_0+a_1+a_2+a_3,a_1 + 2a_2 + 6a_3]$
Ora calcolati $T(e_i)$, e troverai la tua matrice associata.
"feddy":
[quote="pietro123"]
Vediamo se ho capito è sto procedendo nel modo giusto.
1) scrivo $p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2$ e mi fermo perché siamo in $R^2$
No, non devi fermarti. A te interessano i polinomi di grado al più tre.
Ok, ho visto ora l'edit
Ora calcolati $T((1),(0),(0),(0))$ e troverai la tua matrice associata.[/quote]
Perfetto!
Adesso procedo:
1) Calcolo la matrice associata attraverso
$T(e_1)=T(1,0,0,0)=(1,0)$
$T(e_2)=T(0,1,0,0)=(1,1)$
$T(e_3)=T(0,0,1,0)=(1,2)$
$T(e_4)=T(0,0,0,1)=(1,6)$
quindi $A=((1,1,1,1),(0,1,2,6))$
2) il rango della matrice associata è 2 $rk(A)=2$ quindi $dim(Im(T))=2$ e $B(Im(T))={T(e_1),T(e_2)}$
mentre la $dim(N(T))=4-dim(Im(T))=2$
$N(T)={x=3s+7t; y=-2s-6t; z=s; w=t $ per ogni $t,s $ appartenente a $\mathbb{R}$
Spero di aver capito
Esatto.
La base del nucleo non l'ho controllata, mi sembra errata la prima componente $x$.
Ad ogni modo, saresti in grado ora di esprimere i vettori del nucleo come polinomi? In questo modo trovi esattamente i polinomi che vengono mandati a $vec0$. Ricorda infatti che gli elementi dello spazio di partenza sono polinomi, non vettori di $RR^4$, anche se sono isomorfi.
La base del nucleo non l'ho controllata, mi sembra errata la prima componente $x$.
Ad ogni modo, saresti in grado ora di esprimere i vettori del nucleo come polinomi? In questo modo trovi esattamente i polinomi che vengono mandati a $vec0$. Ricorda infatti che gli elementi dello spazio di partenza sono polinomi, non vettori di $RR^4$, anche se sono isomorfi.
"feddy":
Esatto.
La base del nucleo non l'ho controllata, mi sembra errata la prima componente $x$.
Ad ogni modo, saresti in grado ora di esprimere i vettori del nucleo come polinomi? In questo modo trovi esattamente i polinomi che vengono mandati a $vec0$. Ricorda infatti che gli elementi dello spazio di partenza sono polinomi, non vettori di $RR^4$, anche se sono isomorfi.
Sisi... ho appena controllato, ho fatto qualche errore di calcolo, infatti le componenti non sono quelle. Quello che mi serviva capire era il procedimento e sono contento di averlo capito
Grazie mille
Edit: la cosa che volevo chiederti è come mai abbiamo trasformato $R_3[t]$ in $R^4[t]$ ?
MI hai detto per passare da un polinomio a un vettore.
Quindi facendo il procedimento contrario torno ad un polinomio?
Di nulla. Per controllare se hai fatto giusto, puoi moltiplicare la matrice $T$ per esempio con una combinazione lineare della base del nucleo e dovresti ottenere il vettore nullo. Ossia $T*vecv=vec0$.
Ad ogni modo l'esercizio ti chiede solo le dimensioni, quindi della base del nucleo e di come esprimerla puoi bellamente fregartene
Ad ogni modo l'esercizio ti chiede solo le dimensioni, quindi della base del nucleo e di come esprimerla puoi bellamente fregartene
"feddy":
Di nulla. Per controllare se hai fatto giusto, puoi moltiplicare la matrice $T$ per esempio con una combinazione lineare della base del nucleo e dovresti ottenere il vettore nullo. Ossia $T*vecv=vec0$.
Ad ogni modo l'esercizio ti chiede solo le dimensioni, quindi della base del nucleo e di come esprimerla puoi bellamente fregartene
la cosa che volevo chiederti è come mai abbiamo trasformato $R_3[t]$ in $R^4[t] $?
MI hai detto per passare da un polinomio a un vettore.
Quindi facendo il procedimento contrario torno ad un polinomio?
Hai commesso un po' di errori:
1. Siamo passati da $RR_3[X]$ a $RR^4$, non come hai scritto a $RR^4[X]$. Questo grazie all'isomorfismo che ho chiamato $varphi$. Lo abbiamo fatto perché "ci semplifica la vita". Potevamo anche lavorare con la base dei polinomi ${1,x,x^2,x^3}$.
2. Come sicuramente sai, un isomorfismo è un'applicazione biiettiva. Dunque applicando l'inversa ad un vettore troveremo il polinomio che ha quei coefficienti. In sostanza, $varphi^-1([a_0,a_1,a_2,a_3])=a_0+a_1x + a_2x^2 + a_3x^3$.
1. Siamo passati da $RR_3[X]$ a $RR^4$, non come hai scritto a $RR^4[X]$. Questo grazie all'isomorfismo che ho chiamato $varphi$. Lo abbiamo fatto perché "ci semplifica la vita". Potevamo anche lavorare con la base dei polinomi ${1,x,x^2,x^3}$.
2. Come sicuramente sai, un isomorfismo è un'applicazione biiettiva. Dunque applicando l'inversa ad un vettore troveremo il polinomio che ha quei coefficienti. In sostanza, $varphi^-1([a_0,a_1,a_2,a_3])=a_0+a_1x + a_2x^2 + a_3x^3$.
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