Somma diretta tra sottospazi
Salve!
Ho da risolvere un esercizio preso da un compitino di Geometria e mi chiedevo se potevate essermi di aiuto
Sia $ U= Span{u}, $ con $ u=(1,-1,2) in R^3 $.
Sia inoltre $ Pi _lambda = { (x,y,z) in R^3 : lambda x + (1-lambda)y -z=0} lambda in R $
Determinare i $ lambda in R $ per cui $ R^3 = U o+ Pi_lambda $.
Ora, premetto che sono ancora un niubbo totale con questi esercizi (per inciso, di es. sulle somme dirette di sottospazi non ne ho fatto nemmeno uno). Pertanto chiedo a quei poveri cristi che vorranno aiutarmi di non prendere nulla per scontato e di essere chiari e semplici nello spiegare. Ma soprattutto, per favore... risolvete(ovviamente se vi è possibile) interamente l'esercizio e non abbandonatemi in balia del destino in questo tetro mare di vettori perché ho un professore che fa schifo nello spiegare!
. Ora sul serio, chiedo scusa per aver intasato questa domanda con parole inutili, ma ci tenevo a far capire di non voler ripetere l'esperienza vissuta su altri forum in cui le risposte che mi arrivavano erano tutto fuorché esplicative ed esemplificative.
Vi ringrazio di cuore per eventuali risposte!
Ciao!
Ho da risolvere un esercizio preso da un compitino di Geometria e mi chiedevo se potevate essermi di aiuto
Sia $ U= Span{u}, $ con $ u=(1,-1,2) in R^3 $.
Sia inoltre $ Pi _lambda = { (x,y,z) in R^3 : lambda x + (1-lambda)y -z=0} lambda in R $
Determinare i $ lambda in R $ per cui $ R^3 = U o+ Pi_lambda $.
Ora, premetto che sono ancora un niubbo totale con questi esercizi (per inciso, di es. sulle somme dirette di sottospazi non ne ho fatto nemmeno uno). Pertanto chiedo a quei poveri cristi che vorranno aiutarmi di non prendere nulla per scontato e di essere chiari e semplici nello spiegare. Ma soprattutto, per favore... risolvete(ovviamente se vi è possibile) interamente l'esercizio e non abbandonatemi in balia del destino in questo tetro mare di vettori perché ho un professore che fa schifo nello spiegare!
. Ora sul serio, chiedo scusa per aver intasato questa domanda con parole inutili, ma ci tenevo a far capire di non voler ripetere l'esperienza vissuta su altri forum in cui le risposte che mi arrivavano erano tutto fuorché esplicative ed esemplificative. Vi ringrazio di cuore per eventuali risposte!
Ciao!
Risposte
Ciao,
innanzitutto: sai cosa significa che due sottospazi sono in somma diretta? Sostanzialmente che la loro unione genera tutto lo spazio mentre la loro intersezione è solo il vettore nullo.
Ora, devi ricavarti da $Pi_lambda$ una sistema di generatori dipendente da $lambda$. Questi $lambda$ sono scalari tali per cui la somma tra i due sottospazi sarà diretta. In particolare, la dimensione di $Pi_lambda$ sarà $2$, mentre l'intersezione con $U$ dovrà avere dimensione pari a $0$.
innanzitutto: sai cosa significa che due sottospazi sono in somma diretta? Sostanzialmente che la loro unione genera tutto lo spazio mentre la loro intersezione è solo il vettore nullo.
Ora, devi ricavarti da $Pi_lambda$ una sistema di generatori dipendente da $lambda$. Questi $lambda$ sono scalari tali per cui la somma tra i due sottospazi sarà diretta. In particolare, la dimensione di $Pi_lambda$ sarà $2$, mentre l'intersezione con $U$ dovrà avere dimensione pari a $0$.
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