Dubbio vettori colonna associati a una matrice
salve a tutti vedendo alcuni esercizi mi sono sorti dei dubbi=
esempio:
calcolo dello spazio nullo di una matrice che chiamo A( ovvero l'insieme di tutti i vettori z appartenenti a $ R^n$ t.c $A* z = 0 $ dove $0$ indica il vettore composto da n 0.
avendo $A=((1,0),(0,1),(0,0)) $
l'esercizio è svolto nel seguente modo:
chiamo e1 la prima colonna $e1=((1),(0),(0))$ ed e2 la seconda colonna $e2=((0),(1),(0))$
quindi $A=((e1,e2))$
sapendo che i vettori z sono formati da due elementi considero $z=((z1),(z2))$
quindi eseguo la moltiplicazione tra $A*z$ ed ottengo $z1*e1+z2*e2=0$ ovvero $z1=0 and z2=0$.
-quello che mi chiedo è perchè chiamare le due colonne e1 ed e2 e svolgere l'esercizio nel seguente modo?
-perchè non fare semplicemente una moltiplicazione tra la matrice $A $di partenza con $z$ e porre tutto uguale al vettore $0$ considerando al massimo il sistema lineare associato??
-le due soluzioni sono uguali? perchè?
esempio:
calcolo dello spazio nullo di una matrice che chiamo A( ovvero l'insieme di tutti i vettori z appartenenti a $ R^n$ t.c $A* z = 0 $ dove $0$ indica il vettore composto da n 0.
avendo $A=((1,0),(0,1),(0,0)) $
l'esercizio è svolto nel seguente modo:
chiamo e1 la prima colonna $e1=((1),(0),(0))$ ed e2 la seconda colonna $e2=((0),(1),(0))$
quindi $A=((e1,e2))$
sapendo che i vettori z sono formati da due elementi considero $z=((z1),(z2))$
quindi eseguo la moltiplicazione tra $A*z$ ed ottengo $z1*e1+z2*e2=0$ ovvero $z1=0 and z2=0$.
-quello che mi chiedo è perchè chiamare le due colonne e1 ed e2 e svolgere l'esercizio nel seguente modo?
-perchè non fare semplicemente una moltiplicazione tra la matrice $A $di partenza con $z$ e porre tutto uguale al vettore $0$ considerando al massimo il sistema lineare associato??
-le due soluzioni sono uguali? perchè?
Risposte
$e_1$, $e_2$ sono due vettori della base canonica. La conosci ? E' quella base tale per cui $e_i= [0,...,1,...,0]$, dove l'$1$ è nell'i-esima posizione. Con $1=
Ovviamente questa matrice identifica un'applicazione lineare da $RR^2$ a $RR^3$. E come sai i vettori del nucleo (o spazio nullo), devono stare nell'insieme di partenza, cioè $RR^2$ e quindi hanno due componenti.
Il procedimento che descrivi te è uguale perché fai esattamente la stessa cosa che fa il testo, con l'eccezione che il testo insiste sulla notazione dei vettori della base canonica, ma non cambia esattamente nulla.
Ovviamente questa matrice identifica un'applicazione lineare da $RR^2$ a $RR^3$. E come sai i vettori del nucleo (o spazio nullo), devono stare nell'insieme di partenza, cioè $RR^2$ e quindi hanno due componenti.
Il procedimento che descrivi te è uguale perché fai esattamente la stessa cosa che fa il testo, con l'eccezione che il testo insiste sulla notazione dei vettori della base canonica, ma non cambia esattamente nulla.
Grazie per la risposta; riporto un altro esempio dove i vettori colonna non corrispondono alla base canonica di $R^2$
$A=((1,1),(3,3)) $
chiamo e1 la prima colonna $e1=((1),(3))$ ed e2 la seconda colonna $e2=((1),(3))$
quindi $A=((e1,e2))$ considerando nuovamente l'insieme dello spazio nullo formato da vettori apparttenenti a $R^2$
quindi eseguo la moltiplicazione tra $A*z$ ed ottengo $z1*e1+z2*e2=0$ ed ottengo lo stesso risultato che avrei avuto se avessi svolto la moltiplicazione normalmente (adesso tralasciando quest'altro caso in cui alla fine tutto combacia). mi chiedo:
-il fatto di considerare una matrice come l'insieme dei suoi vettori colonna, va bene per ogni tipo di matrice ?? oppure solo nel caso in cui questo è possibile come i due esempi che ho riportato??
Grazie.
$A=((1,1),(3,3)) $
chiamo e1 la prima colonna $e1=((1),(3))$ ed e2 la seconda colonna $e2=((1),(3))$
quindi $A=((e1,e2))$ considerando nuovamente l'insieme dello spazio nullo formato da vettori apparttenenti a $R^2$
quindi eseguo la moltiplicazione tra $A*z$ ed ottengo $z1*e1+z2*e2=0$ ed ottengo lo stesso risultato che avrei avuto se avessi svolto la moltiplicazione normalmente (adesso tralasciando quest'altro caso in cui alla fine tutto combacia). mi chiedo:
-il fatto di considerare una matrice come l'insieme dei suoi vettori colonna, va bene per ogni tipo di matrice ?? oppure solo nel caso in cui questo è possibile come i due esempi che ho riportato??
Grazie.
Occhio: il libro ha chiamato $e_1$, $e_2$ quei due vettori là perché per convenzione sono chiamati così. Nel tuo ultimo esempio ai fini della risoluzione non ha nessun senso chiamare così quei due vettori.
Come hai notato, devi solamente risolvere un sistema lineare omogeneo. Cioè $A*z=vec0$. Lo risolvi come hai sempre fatto.
Come hai notato, devi solamente risolvere un sistema lineare omogeneo. Cioè $A*z=vec0$. Lo risolvi come hai sempre fatto.
si infatti chiama i due vettori colonna rispettivamente con a1 ed a2, pero risolve il tutto analogamente uguale a prima quindi il dubbio che sorge adesso e che gia ho scritto prima
"-il fatto di considerare una matrice come l'insieme dei suoi vettori colonna, va bene per ogni tipo di matrice ?? oppure solo nel caso in cui questo è possibile come i due esempi che ho riportato??"
oppure è semplicemente un altro caso nel quale posso procedere in quel modo?
"-il fatto di considerare una matrice come l'insieme dei suoi vettori colonna, va bene per ogni tipo di matrice ?? oppure solo nel caso in cui questo è possibile come i due esempi che ho riportato??"
oppure è semplicemente un altro caso nel quale posso procedere in quel modo?
Si, puoi considerare una matrice come l'insieme dei suoi vettori colonna.
ok grazie mille.
quindi ricapitolando posso considerare una matrice come l'insieme dei suoi vettori colonna ed eseguire tutte le operazioni su di essi non alterando il risultato che avrei ottenuto procedendo nel classico modo.
grazie
quindi ricapitolando posso considerare una matrice come l'insieme dei suoi vettori colonna ed eseguire tutte le operazioni su di essi non alterando il risultato che avrei ottenuto procedendo nel classico modo.
grazie
Sì, anche se secondo me è conveniente risolvere il sistema lineare che si viene a formare nel modo classico. Poi, de gustibus... 
Si hai perfettamente ragione, però se queste operazione le deve compiere un calcolatore è conveniente salvare una matrice come insieme di vettori colonna in modo da avere maggiore efficienza.
Non me lo dire, sto studiando analisi numerica
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