Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti! Ho da proporvi questo quesito d'esame di Geometria I.
Si studi il sottospazio U di \( \Re ^3 \) rappresentato nel riferimento \( R=((1,1,0),(0,0,1),(0,-2,0)) \) dal seguente sistema lineare omogeneo
\( \Sigma :\begin{cases} x1-x2-x3=0\\ x1+x2 =0 \end{cases} \)
Per "studiare" credo che la prof intenda trovare dimensione, base e equazioni nel riferimento di U. Io ho trovato che la dimensione di U è 1 e la base è (-1,1,-2) e le equazioni le ho trovate ponendo il rango di
\( ...
Buonasera, ho riscontrato problemi nel studiare il parametro h del sistema lineare
${x+y+z+3t=h$
${hx-2y+z+(h-1)t=0$
${z+(h+1)t=h$
ho pensato di prendere in considerazione il minore $1,1;-2,1$ il cui determinante è diverso da zero per cui la matrice ha almeno rango due. Successivamente mi sono calcolato i suoi orlati della matrice completa e mi sono usciti rispettivamente h=-2,1,0 ora però non saprei come procedere...
Buongiorno ragazzi/e Avrei dei dubbi per quanto riguarda la risoluzione dei sistemi lineari con un parametro. Ho già cercato qui sul forum altre discussioni simili ma quelle che ho trovato mi sembrano "diverse" da ciò che l'esercizio mi chiede di fare
Si consideri il sistema lineare AX = B, con
A= $((0,1,1,1,1),(6,h,h+6,6),(h+6,-3,h+3,h+3))$
e B = $((1+h),(h),(-3-2h))$
(a) Determinare il rango di A al variare di h:
(b) Determinare per quali valori di h il sistema ammette soluzioni:
(c) Determinare per quali valori ...
Buonasera a Tutti,
stavo svolgendo alcuni esercizi relativamente ad un imminente esame ma mi sono fermato ad un certo punto.
Il problema nasce dal fatto che, in primis l'argomento non è che mi sia chiarissimo, e poi che sono abituato a lavorare con omomorfismi del tipo $f : R^3 -> R^3 $ mentre questa volta mi trovo con $f : R^3 -> R^4 $.
Nello specifico l'omorfismo in questione è $f ((a) ,(b) ,(c)) = ((a+2c),(b-c),(a+b+c),(2a+4c))$
Tramite messa a sistema mi sono ricavato una base per il nucleo e la sua dimensione con il ...
Salve a tutti
qualcuno saprebbe dirmi come si risolvono questa tipologia di esercizi? La mia idea era di trovare una base di autovettori e fare un cambiamento di base ma non mi è ben chiaro il procedimento da seguire.
http://imgur.com/a/B3zDC
i parametri sono a=b=2, dipendono dal codice di matricola!
Ciao, ho questo esercizio che non riesco proprio a metterci sopra le mani, potreste aiutarmi e spiegarmi il procedimento? grazie in anticipo
Dato il vettore v= (1,1,0,2) di R^4 , determinare:
a) L’insieme S dei vettori di R^4 ortogonali a v;
b) Una base ortogonale B di R^4 contenente il vettore v, spiegare poi perché B è una base di R^4.
Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto con il seguente esercizio.
"Sia $ varphi:RR^3xRR^3 to RR $ la forma bilineare simmetrica la cui forma quadratica associata è $ Q(vec x)= x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+x_3^2 $ . Trovare $ varphi $.
Allora io fatto qualche tentativo, benché continui a essere quasi certo che siano sbagliati.
Per prima cosa ho trovato la matrice $ G: ((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,1)) $ associata alla forma quadratica.
Quindi, ho provato a considerare la base canonica di $ RR^3 $ e ho provato manualmente a far sì che ...
Salve a tutti, ho un esercizio sulle curve che mi sta dando dei problemi: mi viene fornita la parametrizzazione della curva e mi viene chiesto di dimostrare che nell'origine c'è un punto di cuspide, di determinare il cono tangente.
Per quanto riguarda la cuspide non ho idea di come dimostrarlo, son riuscito solo a dimostrare che nell'origine la curva non è regolare, per quanto riguarda il cono tangente dal testo si intuisce che devo calcolarlo nell'origine, io so che il cono tangente è un ...
Il sottoinsieme $S={(x,y) \in R^2: y=5x^2}$ è un sottospazio vettoriale di R^2?
Per essere sottospazio vettoriale deve essere chiuso rispetto alla somma e al prodotto:
Se $u, v \in E -> u+v\inE$
Se $u\in E$ e $k\in R -> ku\inE$
Come applico questo a tale sottoinsieme?
Sia $T: R_2[t]->R_3[t]$ un'applicazione lineare tale che $T(t)=t^3-t^2+t+5, T(2t+5)=0 e T(t^2-t)=3t^2-3t$
1) Discuti dell'esistenza e unicità di T
2) Trova la dimensione e una base dello spazio $U=ImT$
3) Dato $W={p(t)\inR_3[t]:p''(t) $ è il polinomio nullo$}$, verifica che $W$ è un sottospazio vettoriale di $R_3[t]$ e trovarne la dimensione e una base.
4) trova una dimensione e una base di $U+W$ e di $U\capW$
Sia $f:V->V'$ un'applicazione da uno spazio ...
Salve a tutti, ho un problema con un esercizio riguardante la Geometria Analitica nello spazio
Mi vengono dati due piani π1 : x+y+z−3 = 0 e π2 : x−y+z−3 = 0 e mi viene chiesto:
a) Trovare la sfera tangente al piano π1 in P1(1, 1, 1) ed al piano π2 in P2(1, −1, 1).
b) Determinare la circonferenza massima C di Σ passante per P1 e P2.
c) Trovare le rette tangenti a C nei punti P1 e P2.
nel punto a come procedimento ho cercato le due rette perpendicolari al piano tramite la seguente ...
Sto svolgendo un esercizio in cui considerando una matrice come applicazione lineare devo calcolarne il nucleo e la base del nucleo
La matrice in questione è $((1,0,0),(1,0,0),(1,1,1))$
Il risultato del nucleo è $((1),(1),(1)) $
Mentre la sua base è $((0),(-1),(1)) $
A me viene per il nucleo il risultato della sua base e non so dove sto sbagliando
Qualcuno sa spiegarmelo? E in generale la base di un nucleo come si trova?
Grazie mille
Data l'applicazione $< , >:R^4 x R^4 -> R$ definita da:
$<v,w> =2v_1w_1-v_1w_2-v_2w_1-v_1w_3-v_3w_1+v_2w_2+v_3w_3+6v_4w_4$
1)Dimostra che $< , >:R^4 x R^4 -> R$ è un prodotto scalare su $R^4$.
2) Scrivi la matrice associata a tale prodotto scalare rispetto a una base a tua scelta
3) stabilisci se è degenere
4) determina se è semi-definito positivo, negativo o indefinito.
Non so proprio da dove partire
è possibile che un autovalore di un endomor smo abbia molteplicita geometrica uguale a 0?
Secondo me no! Perché un autovalore, se esiste ha molteplicità $>=1$ Credo...
Data l'applicazione $< , > : R_2[t] x R_2[t] -> R$ definita da:
$<p(t),q(t)> =0p(0)q(0)+ p''(2) q(1)+p(1) q''(2) - p'(-1) q'(-1)$
1) Determinare se $< , >$ è un prodotto scalare
2) Scrivi la matrice associata a tale prodotto rispetto a una base a tua selta
3) STABILISCI SE è DEGENERE
4) detertmina se è semi-positivo, negativo o indefinito
1) Per verificare se è un prodotto scalare devo verificare che:
$<\lambdap(t),q(t)> = \lambda <p(t),q(t)>$
$<\lambdap(t),q(t)> = \lambdap(0) q(0)+\lambdap''(2)q(1)+\lambdap(1)q''(2)+\lambdap'(-1)q'(-1)=\lambda(p''(2) q(1)+p(1) q''(2) - p'(-1) q'(-1)$
è un prodotto scalare!
2) Non so come procedere...
3) Per essere degenere il determinante deve essere ...
I sottospazi $U={((x),(y),(z))\in \mathbb{R}^3:x-5z=0 }$ e $W=Span(3t+1,6+t,5t-2)\subseteq \mathbb{R}_3[t]$ hanno la stessa dimensione?
Come procedo?
Come vedo i due sottospazi in modo da verificare se le dimensioni sono uguali?
La dimensione la verifico attraverso il rango, ma non so proprio come vedere questi due sottospazi in modo da calcolarlo...
Se $B={v_1,v_2,v_3,v_4}$ è una base di $V$, è vero che $C={v_1+v_2+v_3,v_2+v_3+v_4,v_1+v_3+v_4,v_1+v_2+v_4}$ è una base di $V$?
Premessa: Spero di essere sulla buona strada
Per verificare se una serie di vettori è una base di un sottospazio vettoriale metto i vettori in forma matriciale e calcolo il rango.
In questo caso non ho vettori noti, ma solo una serie di vettori generici.
Esempio: di solito ho una serie di vettori noti, per esempio $v_1=(1,0,-1)$ $v_2=(2,2,0)$ $v_3=(1,1,1)$ di uno ...
Al variare del parametro $k \in \mathbb{R}$ considera la matrice:
$A_k=((5-k,9,4-k),(0,k-5,0),(4-k,3,6-k))$
1) trova gli autovalori di $A_k$
2) stabilisci per quali valori di $k$ la matrice è diagonalizzabile
1) Per trovare gli autovalori devo porre:
$A_k*v=\lambda*v$
quindi:
$((5-k,9,4-k),(0,k-5,0),(4-k,3,6-k))*((x),(y),(z))=((\lambda x),(\lambda y),(\lambda z))$
Portando la matrice a sistema e rislvendolo ottengo la matrice:
$((5-k-\lambda,9,4-k),(0,k-5-\lambda,0),(4-k,3,6-k-\lambda))$
Per conoscere gli autovalori, devo porre il determinante di tale matrice a zero: $det=0$
Ottengo un ...
Buongiorno, non capisco come trovare una base di un intersezione di due sottospazi.
Ho un esercizio dove mi fa calcolare prima le basi di U e V e poi mi chiede di calcolare una base di U+V e una di U∩V
Le basi dei due sottospazi che ho trovato sono:
V=
U=
Per calcolare la base di U+V ho fatto come mostrato nel file in allegato.
Per calcolare quella di U∩V come devo fare? Potreste farmi vedere i passaggi da compiere?
Grazie a tutti per ...
Buonasera ragazzi,
premettendo che teoricamente e praticamente (con matrici senza parametro) so come si studia la diagonalizzabilità di una matrice. (Trovare gli autovalori, calcolarne la molteplicità geometrica e sommare le molteplicità geometriche dei vari autovalori che si è trovati).
La mia difficoltà sta nel trovare gli autovalori in una matrice parametrica (cioè risolvere l'equazione che viene fuori dal calcolo del determinante) potete darmi una mano?
Ecco a voi il testo:
...
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