Matrici diagonalizzabili

[Mattecitta]

altro esercizio , che non capisco
al variare del parametro k $in$ R , si consideri la matrice

$A_k$ = ((1,0,0,0),(k-3,2-k,0,-k),(0,0,1,0),(2-k,k,0,k+2))

1) determinare l'insieme D= { k $in$ R : $A_k$ é diagonalizzabile }
2) per k $in$ D, determinare una base di $R^4$ formata da autovettori di $A_k$

[feddy]

Questi esercizi richiedono la conoscenza della teoria di base sugli autovalori e autovettori.

1) Calcoli il polinomio caratteristico come al solito. L'unica "complicazione" è che qui c'è un parametro $k$. Servirà una discussione sugli zeri del polinomio caratteristico che, come puoi vedere, dipenderanno da $k$.

In particolare, la matrice è sicuramente diagonalizzabile se ammette $4$ autovalori distinti. Per quei valori di $k$ che verificano ciò, siamo apposto.
Altrimenti, per i valori "dubbi" è necessario verificare che la molteplicità geometrica sia uguale alla molteplicità algebrica per ogni autovalore. Sono solo ed esclusivamente conti.

2) gli autovettori sono le soluzioni del sistema lineare $(A_k-lambdaI)vec(v)=vec0$.