Piano passante per un punto e perpendicolare a due piani

[elid1]

Ciao! Non so bene come svolgere un esercizio nel quale mi si chiede di trovare un piano passante per un punto e perpendicolare a due piani. Dice: nello spazio euclideo tridimensionale trovare l'equazione cartesiana di un piano passante per P(-1,3,1) e perpendicolare ai piani di equazione 2x-y+z=3 e x+y=6. In particolare faccio fatica a capire come possa esistere un piano perpendicolare a due piani a meno che questi non siano tra loro paralleli. Pensavo di trovare i coefficienti (a,b,c) e (a',b',c') dei due piani e trovare la direzione perpendicolare ad entrambi con il prodotto tra le due direzioni e sostituire la direzione trovata nell'equazione generica del piano. Infine sostituire x,y,z con le coordinate del punto. E' corretto?
Infine mi chiede di trovare l'equazione di una retta giacente sul piano trovato e contenente un punto Q qualsiasi del piano. Se trovo due punti del piano Q e P, allora la direzione P-Q=(v1,v2,v3) è quella della retta cercata?
Grazie!!

[Antimius]

Pensa ai tre piani coordinati: ognuno è ortogonale agli altri due, ma nessuno di loro è parallelo.

Quello che dici che è corretto: infatti un piano è ortogonale a un altro piano se e solo contiene la sua direzione normale. Perciò il piano che cerchi deve contenere entrambe le direzioni normali degli altri due piani. Poiché gli altri due piani non sono paralleli, le direzioni normali saranno diverse (e quindi i versori corrispondenti saranno linearmente indipendenti), perciò esse determinano univocamente la giacitura del piano cercato.
Un buon modo per scrivere l'equazione poi è, come hai detto tu, trovare la direzione normale, che si calcola tramite prodotto vettoriale

Per l'ultimo punto, quello che dici è giusto. Alternativamente, la direzione è combinazione lineare delle direzioni che formano la giacitura del piano (che in questo caso sono, ad esempio, le direzioni normali degli altri due piani)

[elid1]

Benissimo grazie!

[Antimius]

Prego