Sottospazi vettoriali

[pietro1231]

è vero che i due sottospazi $W={A\in M_(2,2)(R):3a_(11)-a_(12)=0}$ e $U={p(t)\in R_3[t]:p(0)=0,p'(0)=p''(0)}$
hanno la stessa dimensione?

Vediamo di trovare $W$ e $U$
$W=((a_(11),a_(21)),(3a_(11),a_(22)))$
La dimensione di $W$ è data dal calcolo del rango.
Se il $Rg(W)=2->dim(W)=0$
Il determinante di $W$ è: $det(W)=a_(11)a_(22)-3a_(11)a_(21)$
Se tale determinante è uguale a zero allora il ranfo è 1 altrimenti è 2.

$p(t)=at^3+bt^2+ct+d$
$p(0)=d=0$
$p'(0)=c$
$p''(0)=2b$
quindi $c=2b$

Qui mi blocco e non riesco ad andare avanti... sempre se stia facendo bene il resto

[cooper1]

prendi quello che ti dico con cognizione di causa perchè non ne sono certissimo. io farei così:
uso l'isomorfismo matrici e vettori per cui il primo sottospazio si traduce in $ W={(x,y,z,t) in RR^4 : 3x-y=0} $
a questo punto estraggo la base da un sistema di equazioni omogenee lineari e trovo che ha dimensione 3.
per $U$ uso invece l'isomorfismo tra lo spazio dei polinomi e i vettori così che $U$ diventa: $ U={(x,y,z,t) in RR^4 : d=0, c=2b} $
estraendone una base trovo che ha dimensione 2.

[pietro1231]

"cooper":prendi quello che ti dico con cognizione di causa perchè non ne sono certissimo. io farei così:
uso l'isomorfismo matrici e vettori per cui il primo sottospazio si traduce in $ W={(x,y,z,t) in RR^4 : 3x-y=0} $
a questo punto estraggo la base da un sistema di equazioni omogenee lineari e trovo che ha dimensione 3.
per $U$ uso invece l'isomorfismo tra lo spazio dei polinomi e i vettori così che $U$ diventa: $ U={(x,y,z,t) in RR^4 : d=0, c=2b} $
estraendone una base trovo che ha dimensione 2.

Non sono sicurissimo ma penso che anzichè scrivere $3x-y=0$ bisognerebbe scrivere $3x-z=0$ non ne ho certezza, ma se dovessimo portare in forma matriciale, così come ho fatto io, $a_(12)$ corrisponderebbe a $z$... almeno credo.
Come hai calcolato la dimensione di $W$? potresti scrivermi i passaggi please?
Stessa cosa per $U$

[cooper1]

$a_(12)$ rappresenta prima riga seconda colonna. per cui la matrice è: $ ( ( a_(11) , a_(12) ),( a_(21) , a_(22) ) ) $
per trovare le dimensioni ho estratto una base dal sistema di equazioni. ti faccio l'esempio su $U$. un vettore di $U$ ha la forma $ ( ( a ),( b ),( 2b ),( 0 ) ) $ per cui una base è data dai vettori: $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) ^^ ( ( 0 ),( 1 ),( 2 ),( 0 ) ) $ da cui dimensione 2.

[Shocker1]

"pietro123":è vero che i due sottospazi $W={A\in M_(2,2)(R):3a_(11)-a_(12)=0}$ e $U={p(t)\in R_3[t]:p(0)=0,p'(0)=p''(0)}$
hanno la stessa dimensione?

Vediamo di trovare $W$ e $U$
$W=((a_(11),a_(21)),(3a_(11),a_(22)))$
La dimensione di $W$ è data dal calcolo del rango.
Se il $Rg(W)=2->dim(W)=0$
Il determinante di $W$ è: $det(W)=a_(11)a_(22)-3a_(11)a_(21)$
Se tale determinante è uguale a zero allora il ranfo è 1 altrimenti è 2.

Occhio che quello che hai scritto non ha alcun senso, stai ponendo un sottospazio vettoriale uguale a una matrice, non puoi farlo, sono due oggetti diversi. La dimensione di $W$ NON è data dal rango[nota]o almeno NON in questo caso: il rango di una matrice non solo rappresenta il numero di vettori riga/colonna linearmente indipendenti ma fornisce anche la dimensione del sottospazio generato dalle righe o dalle colonne della matrice.[/nota] di un suo elemento, ma dalla cardinalità di una sua base: in pratica il metodo standard per calcolare la dimensione di un sottospazio è quello di dedurre, da un sistema di generatori, una sua base.

"cooper":prendi quello che ti dico con cognizione di causa perchè non ne sono certissimo. io farei così:
uso l'isomorfismo matrici e vettori per cui il primo sottospazio si traduce in $ W={(x,y,z,t) in RR^4 : 3x-y=0} $
a questo punto estraggo la base da un sistema di equazioni omogenee lineari e trovo che ha dimensione 3.
per $ U $ uso invece l'isomorfismo tra lo spazio dei polinomi e i vettori così che $ U $ diventa: $ U={(x,y,z,t) in RR^4 : d=0, c=2b} $
estraendone una base trovo che ha dimensione 2.

Quello che scrivi è corretto, ma andrebbe specificato che quest'isomorfismo è indotto dalla base che fissi sullo spazio. Sostanzialmente mandi un vettore dello spazio nelle sue coordinate rispetto alla base fissata. In questo caso quello che hai fatto è stato fissare la base standard dello spazio delle matrici di ordine $2$ e poi usare l'isomorfismo che tale base induce e quindi identificare i vettori di $W$ con le loro coordinate rispetto alla base fissata.

In generale dati uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ su un campo $\mathbb{K}$ e una sua base $B = {v_1, ... ,v_n}$ allora l'applicazione $[ ]_B : V \to \mathbb{K}^n$ che associa ad ogni vettore $v$ di $V$ il vettore $[v]_B = (a_1, ..., a_n) \in \mathbb{K^n}$ delle sue coordinate rispetto a $B$ è lineare ed è bigettiva.

Per esempio, prendiamo $\mathbb{R_2[x]}$, una sua base è $B = {x^2, x, 1}$, quindi l'isomorfismo manda un generico vettore $ax^2 + bx + c$ in $(a, b, c) \in \mathbb{R^3}$, invece la base $B' = {(1+x^2), x, 1}$ induce un isomorfismo che manda un generico vettore $p(x) = a(1 + x^2) + bx + c$ in $(a, b, c)$, ma c'è una differenza: nel primo caso, ad esempio, il polinomio $x^2 + x + 1$ viene mandato in $(1, 1, 1)$, nel secondo caso no: $x^2 + x + 1$ nella base $B'$ si scrive come $1*(1+x^2) + 1*x + 0*1$ e quindi verrà mandato in $(1, 1, 0)$.

La comodità delle basi canoniche e standard sta nel fatto che le coordinate dei vettori sono molto semplici da calcolare e quindi è possibile tornare indietro facilmente(per esempio nella base canonica di $\mathbb{R^n}$ le coordinate di un vettore $v = (a_1, ..., a_n)$ coincidono con le sue componenti, cioè con $(a_1, ..., a_n)$.

[cooper1]

"Shocker":Quello che scrivi è corretto, ma andrebbe specificato che quest'isomorfismo è indotto dalla base che fissi sullo spazio. Sostanzialmente mandi un vettore dello spazio nelle sue coordinate rispetto alla base fissata. In questo caso quello che hai fatto è stato fissare la base standard dello spazio delle matrici di ordine $ 2 $ e poi usare l'isomorfismo che tale base induce e quindi identificare i vettori di $ W $ con le loro coordinate rispetto alla base fissata.

In generale dati uno spazio vettoriale $ V $ di dimensione $ n $ su un campo $ \mathbb{K} $ e una sua base $ B = {v_1, ... ,v_n} $ allora l'applicazione $ [ ]_B : V \to \mathbb{K}^n $ che associa ad ogni vettore $ v $ di $ V $ il vettore $ [v]_B = (a_1, ..., a_n) \in \mathbb{K^n} $ delle sue coordinate rispetto a $ B $ è lineare ed è bigettiva.

Per esempio, prendiamo $ \mathbb{R_2[x]} $, una sua base è $ B = {x^2, x, 1} $, quindi l'isomorfismo manda un generico vettore $ ax^2 + bx + c $ in $ (a, b, c) \in \mathbb{R^3} $, invece la base $ B' = {(1+x^2), x, 1} $ induce un isomorfismo che manda un generico vettore $ p(x) = a(1 + x^2) + bx + c $ in $ (a, b, c) $, ma c'è una differenza: nel primo caso, ad esempio, il polinomio $ x^2 + x + 1 $ viene mandato in $ (1, 1, 1) $, nel secondo caso no: $ x^2 + x + 1 $ nella base $ B' $ si scrive come $ 1*(1+x^2) + 1*x + 0*1 $ e quindi verrà mandato in $ (1, 1, 0) $.

La comodità delle basi canoniche e standard sta nel fatto che le coordinate dei vettori sono molto semplici da calcolare e quindi è possibile tornare indietro facilmente(per esempio nella base canonica di $ \mathbb{R^n} $ le coordinate di un vettore $ v = (a_1, ..., a_n) $ coincidono con le sue componenti, cioè con $ (a_1, ..., a_n) $.

ti ringrazio per la precisazione non ne ero a conoscenza e non ci avevo mai riflettuto. per cui in generale quello che ho fatto è sempre corretto a meno di specificare la parte evidenziata?

[Shocker1]

Sì, quando identifichi un vettore con le sue coordinate è sempre meglio specificare rispetto a quale base stai considerando il vettore.

[cooper1]

grazie