Cosa si intende per coordinate e qual'è la loro relazione con lo spazio vettoriale
magari la risposta è ovvia ma siccome non l'ho visto scritto da nessuna parte vorrei sincerarmi di alcune cose... parto da un esempio generico ma i miei problemi arrivano pensando a R3
Suppongo uno spazio vettoriale di dimensione 2 generato da una base B=(v1,v2).
In primis, se ho capito bene questi due vettori non devono avere per forza due componenti,cioè tipo v1=(a,b), potrebbero anche averne molte di più, magari v1=(a,b,c,d,), giusto?
Detto ciò, un qualunque altro vettore v di questo spazio vettoriale si può ottenere dalla base B, con una combinazione lineare
v=k1*v1+k2*v2, dove k1 e k2 sono degli scalari, che sono le coordinate di v rispetto alla base B, anche questo l'ho capito giusto?
Quindi a me vien da pensare: se ogni vettore è combinazione lineare dei vettori della base, il numero delle coordinate è lo stesso della dimensione dello spazio vettoriale?
Perchè se è così, supponendo allora di essere in R3, come mai un piano magari descritto da un'equazione che contiene le coordinate x,y,z si dice che ha dimensione due?
Ed infine, quando si fanno gli esercizi nello spazio, un vettore di solito si scrive come (x,y,z). Ma se avessi, ad esempio, una base
B2=[(2,0,0);(0,2,0);(0,0,2)]
ed un vettore
v=1*v1+1*v2+1*v3=(2,2,2),
intendendo con v1-v3 i vettori della base B2, le sue coordinate stando a ciò che ho detto prima non capisco quali sono:, 2,2,2 oppure 1,1,1?
Questo problema non ci sarebbe usando la base canonica, e anche qui mi chiedo se ci sia un trucco sotto....
Forse le coordinate della combinazione lineare e le coordinate degli assi x,y e z nello spazio sono due cose diverse? Io inoltre considero R3 e lo spazio come la stessa cosa, spero sia giusto anche questo...
Suppongo uno spazio vettoriale di dimensione 2 generato da una base B=(v1,v2).
In primis, se ho capito bene questi due vettori non devono avere per forza due componenti,cioè tipo v1=(a,b), potrebbero anche averne molte di più, magari v1=(a,b,c,d,), giusto?
Detto ciò, un qualunque altro vettore v di questo spazio vettoriale si può ottenere dalla base B, con una combinazione lineare
v=k1*v1+k2*v2, dove k1 e k2 sono degli scalari, che sono le coordinate di v rispetto alla base B, anche questo l'ho capito giusto?
Quindi a me vien da pensare: se ogni vettore è combinazione lineare dei vettori della base, il numero delle coordinate è lo stesso della dimensione dello spazio vettoriale?
Perchè se è così, supponendo allora di essere in R3, come mai un piano magari descritto da un'equazione che contiene le coordinate x,y,z si dice che ha dimensione due?
Ed infine, quando si fanno gli esercizi nello spazio, un vettore di solito si scrive come (x,y,z). Ma se avessi, ad esempio, una base
B2=[(2,0,0);(0,2,0);(0,0,2)]
ed un vettore
v=1*v1+1*v2+1*v3=(2,2,2),
intendendo con v1-v3 i vettori della base B2, le sue coordinate stando a ciò che ho detto prima non capisco quali sono:, 2,2,2 oppure 1,1,1?
Questo problema non ci sarebbe usando la base canonica, e anche qui mi chiedo se ci sia un trucco sotto....
Forse le coordinate della combinazione lineare e le coordinate degli assi x,y e z nello spazio sono due cose diverse? Io inoltre considero R3 e lo spazio come la stessa cosa, spero sia giusto anche questo...
Risposte
Ciao, provo a risponderti.
Un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale, il quale può essere molto variegato. Ti faccio un esempio: consideriamo lo spazio dei polinomi di grado minore uguale a $2$: $V = \mathbb{R}_2[x]$, un generico vettore di $V$ è del tipo $ax^2 + bx + c$ e non ha componenti.
Le $n$-uple hanno componenti, volendo anche le matrici hanno delle "componenti", ma non tutti i vettori sono di quel tipo.
Insomma: dipende dallo spazio che stai considerando e dalla sua dimensione.
Sì, o meglio il vettore delle coordinate di $v \in V$ appartiene a $\mathbb{K}^n$, dove $n$ è la dimensione di $V$ e $\mathbb{K}$ è il campo su cui definiamo $V$(campo degli scalari).
Perché la dimensione finita di uno spazio vettoriale è definita come la cardinalità di una sua base, per fare un piano bastano due vettori linearmente indipendenti. Se sei in $\mathbb{R^3}$ le coordinate dei vettori che appartengono al piano sono comunque del tipo $(a, b, c)$ perché quel piano tu lo stai vedendo come sottospazio vettoriale di $\mathbb{R^3}$(parlo di piani passanti per l'origine).
Volendo è possibile identificare un piano $P$ in $\mathbb{R^3}$ con $\mathbb{R^2}$ ma ne riparliamo dopo.
Le coordinate sono $(1, 1, 1)$, ti lascio la definizione qui sotto:
Siano $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$ campo, $B = {v_1, .., v_n}$ una sua base, allora preso $v \in V$ esistono unici $a_1, ..., a_n \in \mathbb{K}$ tali che $v = a_1*v_1 + ... + a_n*v_n$: chiamo $[v]_B = (a_1, ..., a_n) \in \mathbb{K}^n$ il vettore delle coordinate di $v$.
In pratica fissata una base $B$ le coordinate di un vettore $v$ rispetto a $B$ sono i coefficienti dell'unica C.L. dei vettori della base che dà $v$ e quindi le coordinate di un vettore dipendono dalla base che fissi sullo spazio. Ecco perché rispetto alla canonica le coordinate di $v$ sono $(2, 2, 2)$ mentre rispetto a $B$ sono $(1, 1, 1)$
In primis, se ho capito bene questi due vettori non devono avere per forza due componenti,cioè tipo v1=(a,b), potrebbero anche averne molte di più, magari v1=(a,b,c,d,), giusto?
Un vettore è un elemento di uno spazio vettoriale, il quale può essere molto variegato. Ti faccio un esempio: consideriamo lo spazio dei polinomi di grado minore uguale a $2$: $V = \mathbb{R}_2[x]$, un generico vettore di $V$ è del tipo $ax^2 + bx + c$ e non ha componenti.
Le $n$-uple hanno componenti, volendo anche le matrici hanno delle "componenti", ma non tutti i vettori sono di quel tipo.
Insomma: dipende dallo spazio che stai considerando e dalla sua dimensione.
Quindi a me vien da pensare: se ogni vettore è combinazione lineare dei vettori della base, il numero delle coordinate è lo stesso della dimensione dello spazio vettoriale?
Sì, o meglio il vettore delle coordinate di $v \in V$ appartiene a $\mathbb{K}^n$, dove $n$ è la dimensione di $V$ e $\mathbb{K}$ è il campo su cui definiamo $V$(campo degli scalari).
Perchè se è così, supponendo allora di essere in R3, come mai un piano magari descritto da un'equazione che contiene le coordinate x,y,z si dice che ha dimensione due?
Perché la dimensione finita di uno spazio vettoriale è definita come la cardinalità di una sua base, per fare un piano bastano due vettori linearmente indipendenti. Se sei in $\mathbb{R^3}$ le coordinate dei vettori che appartengono al piano sono comunque del tipo $(a, b, c)$ perché quel piano tu lo stai vedendo come sottospazio vettoriale di $\mathbb{R^3}$(parlo di piani passanti per l'origine).
Volendo è possibile identificare un piano $P$ in $\mathbb{R^3}$ con $\mathbb{R^2}$ ma ne riparliamo dopo.
intendendo con v1-v3 i vettori della base B2, le sue coordinate stando a ciò che ho detto prima non capisco quali sono:, 2,2,2 oppure 1,1,1?
Le coordinate sono $(1, 1, 1)$, ti lascio la definizione qui sotto:
Siano $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$ campo, $B = {v_1, .., v_n}$ una sua base, allora preso $v \in V$ esistono unici $a_1, ..., a_n \in \mathbb{K}$ tali che $v = a_1*v_1 + ... + a_n*v_n$: chiamo $[v]_B = (a_1, ..., a_n) \in \mathbb{K}^n$ il vettore delle coordinate di $v$.
In pratica fissata una base $B$ le coordinate di un vettore $v$ rispetto a $B$ sono i coefficienti dell'unica C.L. dei vettori della base che dà $v$ e quindi le coordinate di un vettore dipendono dalla base che fissi sullo spazio. Ecco perché rispetto alla canonica le coordinate di $v$ sono $(2, 2, 2)$ mentre rispetto a $B$ sono $(1, 1, 1)$
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