Conica

[alfiere15]

Buonasera!
Ho questo problema:

Si determini un’equazione dell’iperbole equilatera $I$ avente la retta $a_1 : x + y = 0$ come asintoto, la retta $d : 3x - y -4 = 0$ come diametro, e tale che l’origine e $P(1,1)$ siano punti coniugati rispetto a $I$. Si determinino inoltre gli assi di $I$.

Ho determinate facilmente l'altro asintoto $a_2$ e il centro, sapendo che $a_1$ deve essere perpendicolare ad $a_1$ ed il centro come punto di intersezione di $a_1$ e $d$ (in quanto, per definizione, so che il diametro è una qualsiasi retta passante per il centro).
Ho ottenuto: $a_2 : x-y-2 =0$ e il centro $C(1,-1)$.
Però ora non so come sfruttare le altre informazioni per ricavare l'iperbole...

[sandroroma]

L'iperbole richiesta appartiene al fascio di coniche determinato dalla conica che si spezza nei due asintoti
e dalla conica che si spezza nella retta impropria del piano proiettivo contata due volte.
In coordinate non proiettive tale fascio ha quindi equazione :
$(x+y)(x-y-2)+k=0$
Oppure :
(1) $(x-1)^2-(y+1)^2+k=0$
Adesso occorre imporre il coniugio dei punti $O(0,0), P(1,1) $ nella polarità determinata dalla conica (1).
Per ottener questo vi sono vari metodi. Io preferisco quello elementare dello sdoppiamento che vado ad esporre.
L'equazione della conica (1) si può anche scrivere così:
(2) $(x-1)(x-1)-(y+1)(y+1)+k=0$
Ponendo nella (2) una sola volta $x=0$ ed una sola volta $y=0$ si ha:
$-(x-1)-(y+1)+k=0$ da cui $x+y-k=0$ e questa è l'equazione della polare di $O(0,0)$ nella polarità generata dalla (1).
Imponendo che tale polare passi per il punto $P(1,1) $ si ottiene $k=2$.
Sostituendo tale valore nella (1) si ha :
$(x-1)^2-(y+1)^2+2=0$
In maniera più esplicita:
$x^2-y^2-2x-2y+2=$
che è la richiesta equazione.