Esercizio sui metodi iterativi

[flavio_s92]

Salve volevo porvi questo esercizio che non riesco a risolvere .

"Utilizzare il metodo di Gauss-Seidel con tolleranza e^(-6) per ottenere una approssimazione della soluzione del sistema lineare Ax=b dove A è la matrice di Hilbert di ordine 10, b è il vettore dei termini noti costruito supponendo che la soluzione del sistema sia il vettore avente tutte le componenti uguali a 1.
Confrontare la soluzione ottenuta con il metodi di Gauss-Seidel con la soluzioni reale fornendo l'errore in norma infinito.
Confrontare inoltre la soluzione ottenuta applicando il metodo di eliminazione di Gauss e fattorizzazione LU con la soluzione reale e calcolare anche in questo caso gli errori in norma infinito."

per favore aiutatemi !
Grazie mille

[feddy]

Penso che sia la sezione sbagliata. Dovrebbe andare in "Analisi Numerica e Ricerca operativa". E dovresti proporre un tuo tentativo di soluzione.

[nota]Preso dalla sezione di Analisi Numerica. Pubblicato da Steven.
Metodi numerici (Gauss e Jacobi) per la risoluzione di sistemi di equazioni lineari
http://www1.mat.uniroma1.it/mat_cms/mat ... ineari.pdf[/nota]

Se poi dici dove è che hai qualche difficoltà è anche più facile aiutarti.

Suppongo tu stia lavorando in MatLab.
Per costruire tale matrice di hilbert il comando è $H=hilb(10)$. La soluzione di riferimento è xR=ones(1,10). Per trovare il vettore b è sufficiente fare $b=H*xR$.
Gauss-Seidel prende in input la matrice $A$, il vettore $b$, un guess iniziale $x0$, la tolleranza e un numero massimo di iterazioni.

Ho implementato il tuo esercizio, chiaramente la matrice di hilbert sappiamo essere particolarmente mal-condizionata.
Con $x0=2*xR, mathbb(maxit)=300$ e tol=$1e-6$ ho ottenuto come soluzione il vettore $ x=((1.007543892918049 ),(0.919104615308645)
,(1.146353170539606)
,(1.030702393757111)
,(0.945133943482907)
, (0.918961061794728)
, (0.935504630090363)
,(0.977410824928860)
, (1.032568213113954)
, (1.093364229492330)) $ .



L'errore in norma infinito mi risulta essere invece $err~~ 0.146353$
Il suo andamento, in relazione all'iterata fatta, è questo (in scala semilogaritmica)



Per la fattorizzazione LU si fa analogamente.