Matrice associata ad un'applicazione lineare

[escher576]

Ciao a tutti! Riporto il testo dell'esercizio in questione.

Sia $V$ lo spazio vettoriale delle matrici 2x2 al variare del parametro reale $h$, si consideri l'applicazione lineare $ Phi_h : V rarr V $ tale che $ Phi_h(A) = AB_h - B_h A $ dove $ B_h $ è uguale a:

$ ( ( 2 , 2h ),( -4 , 2 ) ) $

La richiesta dell'esercizio è: trovare una matrice rappresentativa per $ Phi_h $.

Di seguito posto il mio procedimento
Considero A come una matrice 2x2 generica a valori in $R$:
$ ( ( x , y ),( z , t ) ) $

effettuo il prodotto riga per colonna prima per $AB_h$:

$ ( ( x , y ),( z , t ) ) ( ( 2 , 2h ),( -4 , 2 ) ) = ( ( 2x - 4y , 2hx + 2y ),( 2z - 4t , 2hz + 2t ) ) $

e poi per $B_hA$:

$ ( ( 2 , 2h ),( -4 , 2 ) ) ( ( x , y ),( z , t ) ) = ( ( 2x+2hz , 2y + 2ht ),( -4x + 2z , -4y + 2t ) ) $

quindi $ Phi_h(A) = AB_h - B_h A $ è:

$ ( ( 2x - 4y , 2hx + 2y ),( 2z - 4t , 2hz + 2t ) ) - ( ( 2x+2hz , 2y + 2ht ),( -4x + 2z , -4y + 2t ) ) = ( ( 2hz - 4y , 2hx - 2ht ),( 4x - 4t , 2hz + 4y ) ) $

ora, sfruttando l'isomorfismo $ Mat(2,R) rarr R^4 $, riscrivo $Phi_h$ come:

$ ( ( 2hz - 4y ),( 2hx - 2ht ),( 4x - 4t ),( 2hz + 4y ) ) $

e ora posso scrivere la matrice associata ad all'applicazione lineare, utilizzando la sua definizione (la chiamo P):

$ P = ( ( 0 , -4 ,2h , 0 ),( 2h , 0 , 0 , -2h ),( 4 , 0 , 0 , -4 ),( 0 , 4 , 2h , 0 ) ) $

E' corretto il procedimento che ho utilizzato?

[cooper1]

si mi sembra corretto

[escher576]

Grazie mille cooper, i miei dubbi si concentravano sulla validità della trasformazione $ Mat(2,R) rarr R^4 $