Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Dato il prodotto scalare $< , > : R_2[t] x R_2[t] -> R$ definito da
$ < p(t) , q(t) > = p(1)q(1) + p'(1)q'(1) + p''(1)q''(1)$
CAlcolare la norma del vettore $p(t)= 0t^2+3/2t-1/2$
Visto che $p(t)=3/2t-1/2$ calcolo le derivate.
$p'(t)=3/2$
$p''(t)=0$
quindi $p(1)=1$ , $p'(1)=3/2$ e $p''(1)=0$
La norma di un vettore $v$ si calcola $||v||= (< v,v >)^(1/2)$
Applicando l'isomorfismo, prendendo una base $B={t^2,t,1}$ passo il polinomio al vettore $v=(0,3/2 , -1/2)$
Quindi la norma è: ...
L'insieme $U={((x),(y))\inR^2 | 1/3<=y<=3x}$ è sottospazio vettoriale di $R^2$?
Non riesco a sbrogliare questa condizione per risolvere l'esercizio: $1/3<=y<=3x$
Devo verificare che tutti gli elementi dell'insieme $U$ siano chiusi rispetto alla somma e al prodotto
Esiste un amatrice antisimmetrica di ordine $2$ con determinante uguale a $-1$?
Ho operato in questo modo:
1) Ho preso una matrice $A\inM_(2,2)(R)$, $A=((x,y),(z,w))$
2) Ho posto delle condizioni affinché si verifichi: $det(A)=-1$ e $A^T=-A$
\begin{cases} x=0\\w=0\\z=-y\\xw-zy=-1 \end{cases}
Ma come si può vedere il sistema è impossibile:
\begin{cases} x=0\\y^2=-1\\z=-y\\w=0 \end{cases}
Quindi non esiste una matrice di ordine $2$ tale ...
Esiste una matrice $A\inM_(2,2)(R)$ tale che $tr(A)=0$ e $A^2=A*A$ non è diagonale?
Secondo me no...
Ho preso una matrice $M_(2,2)(R)$ generica $A=((x,y),(z,w))$
Sapendo che $tr(A)=0$ e che $A*A$ non deve far venire fuori una matrice diagonale ho posto queste condizioni:
\begin{cases} x+w=0 \\ xy+yw\ne0 \\ zx+wz\ne0 \end{cases}
Rislvendolo ottengo:
\begin{cases} w=t\\x=-t\\-zt+zt\ne0\\-yt+yt\ne0 \end{cases}
Ma il sistema è impossibile perché ...
Sia R2,2 = { a11 a12 a21 a22 ,aij ∈ R} l’insieme delle matrici 2×2 e sia M = [1 −2 2 −4] . Dimostrare che l’insieme delle matrici A ∈R2, tali che MA = [0 0 0 0] `e un sottospaziodi R2, determinarne la dimensione e una base.
per favore aiutatemi
Buongiorno a tutti!
Avrei qualche dubbio su questo esercizio.
Ho questa matrice:
$ A=| ( 8 , -2 , 2 , 0 ),( -2 , 5 , 4 , 0 ),( 2 , 4 , 5 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ) | $
a) Sia f l'endomorfismo di $ R^4 $ associato ad A. Si trovino una base di ker(f) e una base di Im(f). Si dica qual'è la loro dimensione.
Facendo i vari calcoli ho trovato che:
ker(A)={x $ epsilon $ R, (x,2x,-2x,0)}
dim(kerA)=1
B: (1,2,-2,0)
dim(ImA)=3
$ A= | ( 8-lambda , -2 , 2 , 0 ),( -2 , 5-lambda , 4 , 0 ),( 2 , 4 , 5-lambda , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 3-lambda ) | $
$ det(A)=-lambda(3-lambda)(lambda^2-18lambda+81) $
$ det(A)=0 -> lambda=0, lambda=3, lambda=9 $
Come trovo Im(f)?
b) Si dica se f è iniettiva e/o ...
Considerata l'applicazione lineare $T:R^4 \rightarrow M_(2,2)(R)$ definita da $T((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((6x_1,x_2),(5x_3,x_4))$
-Dimostra che $U={v\in R^4 : tr(T(v))=0}$ è un sottospazio vettoriale di $R^4$ e trovare una base e la dimensione.
Per dimostrare che $U$ sia un sottospazio vettoriale dobbiamo vedere se è chiuso per la somma e prodotto scalare.
Ma in questo caso $U$ cos'è?
Buongiorno,
in dirittura di arrivo pre-esame solo Voi potete aiutarmi a salvare il salvabile su questo argomento "apparentemente" semplice ma che ad oggi è un pò il mio punto debole
Devo svolgere per chiudere il discorso ancora 3 esercizi.....ma da solo non credo di farcela.
In particolare chiedo il vostro aiuto più che per lo svolgimento per cercare di capire il ragionamento sul come svolgerlo (altrimenti sarebbe un confronto poco utile)!!!
Provo a partire con l'esercizio che mi ...
Esistono applicazioni lineari iniettive da $R_5[t]$ a $M_(2,3)(R)$?
Dalla teoria so che un'applicazione lineare è iniettiva se il $Ker(V)=0$
Ma in questo caso?
Che faccio? Tiro fuori un'applicazione lineare ideata da me affinchè il $Ker(V)=0$?
E se fosse così, in che modo tiro fuori un'applicazione lineare tale da soddisfare questo valore?
Esiste un'applicazione lineare $T:R^3 -> R^3$ tale che $T(e_1,e_3)=5e_1+e_2+e_3$ , $T(e_2,e_3)=5e_2+e_3$ , $T(2e_1+e_2+e_3)=2e_2+5e_3$ ? Dove $e_1,e_2,e_3$ è la base canonica di $R^3$
Vediamo se ho capito:
$e_1=(1,0,0)$
$e_2=(0,1,0)$
$e_3=(0,0,1)$
Quindi :
$T(e_1-e_3)=T(1,0,-1)=(5,1,1)$
$T(e_2+e_3)=T(0,1,1)=(0,5,1)$
$T(2e_1+e_2-e_3)=T(2,1,-1)=(0,2,5)$
Quindi esiste un $T:R^3 -> R^3$ : $T((x),(y),(z))={x(5,1,1)+y(0,5,1)+z(0,2,5)}$
Quindi l'applicazione lineare generica sarà:
$T((x),(y),(z))=(5x,x+5y+2z,x+y+5z)$
è giusto?
Esistono $h,k\inR$ tali che ${((-k),(5),(5)),((0),(-1),(h)),((k+1),(h),(1))}$ è una base ortogonale di $R^3$?
Ho posto i tre vettori in forma di sistema omogeneo:
$-kx+5y+5z=0$
$-y+hz=0$
$(k+1)x+hy+z=0$
Però non so se sia il procedimento giusto...
Siano $T: R^2 \rightarrow R^2 , T|(x),(y)| = |(-3x+2y),(x+y)|$ e $ P: R^2 \rightarrow R^2, P|(x),(y)| = |(x-2y),(-x-3y)|$
è vero che $P$ è l'applicazione inversa di $T$?
Ho svolto l'esercizio in questo modo, ma non so se sia giusto:
1) Ho portato in forma matriciale $T$ e $P$ ed ho lavorato sull'inversa di $T$.
2) $T=((1,-2),(-1,-3)) $
3) Calcolo determinante: $det(T)= -3-2 = -5$
4) Calcolo matrice inversa visto che determinante è diverso da zero ed ottengo:
$T^-1 = ((-1/5, 2/5), (1/5, 3/5))$ che posso scrivere anche:
...
Esiste un'applicazione lineare suriettiva $T:R^3 -> R^3$ tale che $e_1+e_3\in KerT$?
Applicazione lineare suriettiva, cioè che $dim(Im(T))=dim(R^3)$ giusto?
Visto che la dimensione dell'immagione di T è uguale al rango $Rg(T)=dim(Im(T))=3$, in questo caso.
Quindi le $dim(KerT)=0$ se non ha dimensioni come fanno $e_1+e_3\in KerT$?
Detto questo come ricavo la matrice e soppratutto come verifico il resto?
è vero che $((1,1),(1,5))$ e $((-1,-1),(-1,-5))$ sono simili?
Per essere simili, due matrici (esempio $A$ e $B$), deve esistere una matrice $M$ invertibile tale che:
$A=M^(-1)B M$
Come verifico questo?
Se $U=span(e_1+5e_2+e_3) \subseteq R^3$ è vero che $U^(\perp) $ ha dimensione $3$?
Falso...
Perché l'insieme $U={u_1}$ dove $u_1=(1,5,1)$
Quindi per la condizione di ortogonalità $<u,v> = 0$ sia $v=(x,y,z)$
quindi:
$x+5y+z=0-> {x=-5s-t, y=s, z=t | $per ogni $t,s\in R}$
Quindi $U^(\perp)={(-1,0,1),(-5,1,0)}$ con dimensione $2$
è giusto?
Ragazzi, buonasera!
In un contesto di geometria proiettiva, posso considerare gli asintoti di un'iperbole come le rette congiungenti i punti all'infinito della conica con il centro della stessa?
Buonasera a tutti, purtroppo ho difficoltà nella risoluzione di questo esercizio, non so nemmeno da dove iniziare
qualcuno mi potrebbe aiutare per favore?
In A3(C) si determini una base dello spazio di traslazione del piano α : 2ix + y − z + 1 = 0.
Sia $T:\mathbb{R}_3 [t] \rightarrow \mathbb{R}^2 $ tale che $T(p(t))=((p(1)),(p'(2)))$
1. Trova una base ortonormale di $V=KerT$ rispetto al prodotto scalare standard su $\mathbb{R}_3 [t]$
2. Trova equazioni cartesiane e parametriche dello spazio $V^\bot$
3. scrivi la matrice associata alla proiezione ortogonale $Pv:\mathbb{R}_3 [t] \rightarrow \mathbb{R}_3 [t]$ a tua scelta
Per prima cosa ho applicato l'isomorfismo $\mathbb{R}_n [t] \rightarrow \mathbb{R}^(n+1)[t] $
in modo da avere $\mathbb{R}_3 [t] \rightarrow \mathbb{R}^4[t] $ quindi $p(t)=a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + a_3 t^3$
quindi $p(1)=a_0 + a_1 + a_2 + a_3$ e $p'(2)=a_1 + 4a_2 + 12a_3$
Ho ...
Salve, come da titolo non riesco a risolvere questo esercizio di cui chiede:
Sapendo che il sottospazio \(\displaystyle \mathit S \) = { ( \(\displaystyle \mathcal a+b \), \(\displaystyle \mathcal 2a+b-1 \), \(\displaystyle \mathcal a-b-2 \))|\(\displaystyle \mathcal a, b \) \(\displaystyle \in \) \(\displaystyle \mathbb{R} \) }
Trovare una base per un sottospazio generato < \(\displaystyle \mathit S \) >
Vi ringrazio in anticipo.
Ciao a tutti, sono bloccato su un esercizio che mi chiede di scrivere il vettore $((1,-1),(0,1))$ come somma di un vettore del sottospazio $U$ e del sottospazio $W$. I sottospazi sono
$U = { ((1,-3),(0,1)), ((0,1),(0,-1))}$
$W = {((1,0),(1,0)),((-1,0),(-1,0)),((0,1),(0,1))}$
Ho determinato le equazioni nella base naturale e ricavato dimensione e base, quindi i vettori sono nella forma
$U:{((x,-2x-t),(0,t)) \in R^4} $ mentre per $W:{((z,t),(z,t)) \in R^4} $
Quindi per ricavarmi il vettore $\vecv = ((1,-1),(0,1))$ dovrei trovarmi tramite la ...
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