Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti, oggi ho iniziato a fare un esercizio relativo a un endomorfismo f, e mi si chiedeva di trovare la matrice associata ad f nel riferimento R.
Con R={e1 =(1,1,0), e2=(1,0,1), e3=(0,1,1)} ed f definita come:
f(e1)= 2e1+2e2+e3
f(e2)=e1+3e2+e3
f(e3)= -2e1-4e2-e3
Io avevo pensato di proseguire come sono abituata quando vedo un riferimento, cioè considerare i coefficienti di f(e1), ecc.. come colonne della matrice, trovandomi così la matrice
A=\begin{matrix}2 & 1&-2 \\2& 3& -4\\ 1& 1& ...
Buongiorno a tutti,
ho provato a risolvere il seguente esercizio ma, seppur piuttosto convinto del procedimento (che è quello spiegatomi dal prof.) e sicuro dei conti (controllati con il calcolatore), pervengo ad un risultato che mi lascia alquanto perplesso. Sarei molto grato a chiunque avesse la pazienza di vedere dove ho commesso degli errori. Vi ringrazio in anticipo!
Testo: Ridurre a forma canonica la conica $\Gamma(x,y):8x^2+8xy+2y^2-5y=0$.
Svolgimento:
Siccome
\begin{equation}
det(A)=\begin{pmatrix} ...
Salve ragazzi, sono una naturalista alle prime armi con l'algebra lineare.
Vorrei sapere
1) come trovare la retta che è intersezione dei due piani:
X1+X2-X3=0
2X1+3X2-X3=1
Ho impostato il sistema rispetto ai due piani e trovo che X1=1-5t X2=t X3=1+7t
e' corretto?
2) Trovare l'equazione parametrica e cartesiana per il piano che è ortogonale alla retta trovata nell'esercizio 1 e passante per Q (-1,2,1)
Ho trovato il vettore parallelo alla retta, ricavata dal prodotto esterno della ...
Salve a tutti,
Devo risolvere un esercizio, che ha come consegna:
Sia $ f:R_3rarrR_3 $ la funzione lineare la cui matrice rappresentativa rispetto alla
base canonica è:
$ A=[ ( 8 , -2 , 2 ),( -2 , 5 , 4 ),( 2 , 4 , 5 ) ] $
Si trovi una base ortogonale di autovettori di $ f $.
risolvendolo trovo i vettori:
$ v_1=(-1/2,-1,1) $ appartenente all'autospazio dell'autovalore 0 (di molteplicità algebrica 1).
$ v_2=(-2,1,0) $ e $ v_3=(2,0,1) $ appartenti all'autospazio dell'autovalore 9 (di molteplicità algebrica ...
Ogni spazio vettoriale possiede una base canonica?
sulle dispense che utilizzo come preparazione risulta che "non ha senso parlare di base canonica per ogni spazio vettoriale".
questa affermazione, che non viene spiegata nel modo migliore, mi ha creato un pò di confusione.
in quali casi uno spazio vettoriale non possiede la base canonica?
Salve a tutti,oggi ho iniziato a fare un' altra tipologia di esercizi, quella relativa agli endomorfismo e trovo alcune difficoltà per quanto riguarda l'immagine.
Io so che per trovare la base dell'immagine di un endomorfismo f devo vedere quali colonne della matrice associata all'endomorfismo sono linearmente indipendenti e così mi trovo la base. Ma se volessi l'immagine? Devo semplicemente vedere il rango della matrice associata?
Infatti un esercizio mi chiede di verificare per quali k ...
Come è diventata mia abitudine per quegli esercizi che richiedono la ricerca di massimi e minimi vincolati, a seguito dello svolgimento vado su wolframalpha a controllare i risultati. Tuttavia in un esercizio (che richiede minimi e massimi data la funzione $ f(x,y)=x^2-y^2 $ e il vincolo $ g(x,y)=-y^2-x^y+1=0 $) il programma non considera alcuni punti critici.
Io ottengo come risultati del sistema $ { ( 2x-2lambdaxy=0 ),( -2y-2lambday-lambdax^2=0 ),( -y^2-x^2y+1=0 ):} $ le soluzioni $ (0,1,-1) $ e $ (0,-1,-1) $. Difatti, scrivendo il vincolo ...
Domanda: data la funzione $ f(x,y,z)=(xyz)/(ln(xyz)) $ esiste l'equazione del piano tangente al grafico della funzione nel punto (1,1,1)?
Risposta: No, perché $ gradf(x,y,z) $ presenta tre forme indeterminate.
E' corretto?
Ciao a tutti!!
Ho la seguente matrice:
$ A=[ ( 0 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 2 , -1 ),( 0 , -1 , -1 , 1 ) ] $
Ridotta a Gauss (se non ho fatto errori) viene:
$ A=[ ( 0 , -1 , 1 , -1 ),( 0 , 1 , 2 , -1 ),( 0 , 0 , 1 , 0 ) ] $
Quindi il rango mi viene 2 perché ho come pivot 1,1.
È giusto come ragionamento?
Ciao a tutti ho questo sistema
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -4 \\
-3 & -1 & 2 \\
7 & -1 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
e devo determinare se ha soluzioni oppure no. Per farlo che metodi posso usare?
Ad esempio io so che se il determinante è = 0 il sistema è impossibile o indeterminato.
Ma si intende il determinante della matrice a sinistra dell'uguale o della matrice intera contenente anche gli 1 ??
Grazie!
Salve a tutti,
Ho un dubbio dovuto ad un esercizio (premetto che ho già visto varie domande sul svolgimento di questo tipo di esercizi). L' esercizio in questione è :
Determina per quali valori di k reale la matrice
$ | ( k , 1 , 2 ),( 1 , k , k ),( 0 , 0 , 2 ) | $
è diagonalizzabile.
Svolgendo i conti e svluppando il $ det( A - Ilambda ) $ ottengo il polinomio caratteristico $ (2 - lambda)(lamda^2 - 2klamda + k^2 - 1) $ che ha come radici $ 2 , k + 1, k - 1 $. Ora se gli autovettori sono distinti, cioè se $ k != 1 $ e $ k != 3 $ la matrice ...
Ciao a tutti, da un po' ho iniziato a fare gli esercizi di geometria e algebra relativi agli spazi vettoriali e vorrei farvi "vedere"un esercizio per sapere se ho ragionato in modo corretto, dato che non ci sono risultati.
Mi si da uno spazio vettoriale H={A ∈ M2x3(R) : AB=C}
C= \begin{matrix} 0 & 0\\ 0 & 0\end{matrix}
B=\begin{matrix} 1& 1\\ 0 & -1\\-1&1\end{matrix}
Mi si chiede di determinare una base di H.
Allora io per prima cosa ho svolto il prodotto tra A( scegliendo una matrice ...
Salve a tutti, ho un problema con questo esercizio di cui ho allegato l'immagine, una volta trovata la matrice associata, provo a vedere la diagonalizzabilità scrivendo il polinomio caratteristico e trovando i valori di K, ma purtroppo mi viene un polinomio che non riesco a risolvere. L'ho rifatto moltissime volte ma non riesco a capire dove sbaglio, se qualcuno è disposto a svolgere gliene sarei veramente grato. Grazie in anticipo
Data la matrice dipendente da parametro $ A=( ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0) ) $ determina i valori del parametro t per cui è diagonalizzabile, quindi diagonalizzala.
Arrivo a determinare il polinomio caratteristico che è $ lambda ^3-lambda^2t+16lambda-4lambdat=0 $ .
Ora da qui in avanti entro in confusione: devo risolvere il polinomio in funzione di $ lambda $ giusto? Se così è, trovo un primo autovalore ponendo lambda in evidenza: $ lambda(lambda^2-lambdat+4t-16)=0 $. Svolgendo però l'equazione di secondo grado ottengo $ t+- root()(t^2-4(4t-16))=t+- root()(t^2-16t+64) $ , e ...
Ciao,
la distanza tra due punti su una sfera in R3, intesa come l'arco (che congiunge i due punti) della circonferenza che passa per i due punti e il centro della sfera, è uguale al raggio della sfera per l'angolo tra i vettori posizione dei due punti suddetti.
Giusto?
La domanda è: cosa accade aumentando il numero di dimensioni della sfera?
Se ho i vettori posizione di due punti su una ipersfera (in RN con N>3) per trovare la distanza devo moltiplicare il raggio della ipersfera per l'angolo ...
Scrivere la retta passante per (1, 2, 1) perpendicolare a
Come si svolge un esercizio del genere? Io so fare una retta perpendicolare ad un piano ma è un sottospazio giusto? Come si fa in questo caso?
Salve a tutti!
Ho un problema con questo tipo di esercizio, ovvero:
Dato il punto V=(1,0,0) determinare il luogo Q delle rette che proiettano dal punto V i punti della curva $ C: { ( x^2+2y^2-4xy+2z=0 ),( x+y=0 ):} $
Per svolgerlo ho preso un punto generico $ P=(alpha ,beta ,gamma )in C $ e ho sostituito le coordinate nel sistema e mi risulta:
$ { ( alpha^2+2beta ^2-4alpha beta +2gamma =0 ),( alpha=-beta ):} $ quindi mi risulta:
$ P=(-beta ,beta ,gamma ) $ con la condizione $ 7beta ^2+2gamma = 0 $ .
Adesso però sono bloccata non so più come andare avanti, non so nemmeno se quello che ...
Ciao a tutti, ho questo quesito
"Sia $f : R^3 -> R^3$ l'applicazione lineare definita da
$T(x, y, z) = (2x + y, x + y, y + z)$
determinare le dimensioni degli spazi vettoriali $Im(f)$ e $ker(f)$."
In pratica nel mio caso la formula è $Im(f) + ker(f) = 3$. Ora però ho qualche domanda:
- $Im(f)$ corrisponde al rango?
- Il rango lo trovo risolvendo la matrice associata e contando i pivot?
Grazie!
Salve a tutti, mi servirebbe una mano sullo svolgimento di questo esercizio d'esame di geometria.
Ho una matrice di rotazione A :
0 0 1
-1 0 0
0 -1 0
e l esercizio oltre a chiedere l asse della rotazione che sono abbastanza sicuro essere l autospazio associato a 1 chiedeva di trovare due matrici associate a riflessioni nello spazio B e C tali che BC=A .
ho provato in vari modi a trovare una soluzione cercando matrici di riflessioni con autovalori -1 1 1 e con determinante -1 che ...
Ciao a tutti, ho questo quesito:
Mostrare che l'insieme W delle matrici 2 x 2 è un sottospazio vettoriale dello spazio delle matrici reali 2 x 2.
\begin{equation*}
W =
\begin{pmatrix}
3a & -a+b \\
a & -2a+b \\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
con a e b appartenenti ad R.
Il mio procedimento è questo. Riscrivo la matrice come
\begin{equation*}
a
\begin{pmatrix}
3 & -1 \\
1 & -2 \\
\end{pmatrix} + b
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Le due matrici sono tra loro ...
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