Diagonalizzazione con parametro
Data la matrice dipendente da parametro $ A=( ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0) ) $ determina i valori del parametro t per cui è diagonalizzabile, quindi diagonalizzala.
Arrivo a determinare il polinomio caratteristico che è $ lambda ^3-lambda^2t+16lambda-4lambdat=0 $ .
Ora da qui in avanti entro in confusione: devo risolvere il polinomio in funzione di $ lambda $ giusto? Se così è, trovo un primo autovalore ponendo lambda in evidenza: $ lambda(lambda^2-lambdat+4t-16)=0 $. Svolgendo però l'equazione di secondo grado ottengo $ t+- root()(t^2-4(4t-16))=t+- root()(t^2-16t+64) $ , e svolgendo il $ Delta $ in funzione di $ t $ non trovo soluzioni reali. Sicuramente sbaglio qualcosa... qualcuno più illuminarmi? Grazie
Arrivo a determinare il polinomio caratteristico che è $ lambda ^3-lambda^2t+16lambda-4lambdat=0 $ .
Ora da qui in avanti entro in confusione: devo risolvere il polinomio in funzione di $ lambda $ giusto? Se così è, trovo un primo autovalore ponendo lambda in evidenza: $ lambda(lambda^2-lambdat+4t-16)=0 $. Svolgendo però l'equazione di secondo grado ottengo $ t+- root()(t^2-4(4t-16))=t+- root()(t^2-16t+64) $ , e svolgendo il $ Delta $ in funzione di $ t $ non trovo soluzioni reali. Sicuramente sbaglio qualcosa... qualcuno più illuminarmi? Grazie
Risposte
non so se ho ben capito quello che stai chiedendo. da quello che ho capito ti sembra che $ t^2-16t+64=0 $ non abbia soluzioni reali. se così fosse ti faccio notare che $ t^2-16t+64=(t-8)^2 $
qui manca un fratto 2.
ti faccio anche notare che gli autovalori possono essere anche complessi.
"dino!":
$ t+- root()(t^2-4(4t-16))=t+- root()(t^2-16t+64) $
qui manca un fratto 2.
ti faccio anche notare che gli autovalori possono essere anche complessi.
ok quindi secondo quanto giustamente mi hai fatto notare otterrei come unica soluzione $ t=4 $, dato che nell'altra la variabile si annulla. però non so cosa farci adesso con il valore di t trovato...
ricapitolando:
$ | ( t-4-lambda , 0 , 4 ),( t , 4-lambda , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) | {: ( t-4-lambda , 0 ),( t , 4-lambda ),( 0 , 0 ) :}=(t-4-lambda)(4-lambda)(-lambda)=(t-4-lambda)(-4lambda+lambda^2)=-4lambdat+lambda^2t+16lambda-4lambda^2+4lambda^2-lambda^3=lambda^3-lambda^2t-16lambda+4lambdat=0 $
metto in evidenza $ lambda $ e ottengo $ lambda(lambda^2-lambdat+4t-16)=0 $, da cui tra l'altro un autovalore è $ lambda1=0 $.
quindi devo (?) risolvere per $ lambda $, e avrò: $ lambda1,2=(t+- root()(t^2-4(4t-16)))/2=(t+- root()(t^2-16t+64))/2 $ .
e ci ritroviamo al punto iniziale. fin qua non mi sembra ci sia nulla che non vada.
ora immagino di dover risolvere il $ Delta $ : $ Delta =t^2-16t+64= root()((t-8)^2)=t-8->t=8 $, per cui ritornando alla nostra equazione di secondo grado avrò: $ (t+- 8)/2 $. le due soluzioni sono $ (t+8)/2 $ e $ (t-8)/2 $.
ora queste soluzioni dovrei andarle a sostituire nella matrice al posto di $ t $...
credo ci sia qualche errore...
ricapitolando:
$ | ( t-4-lambda , 0 , 4 ),( t , 4-lambda , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) | {: ( t-4-lambda , 0 ),( t , 4-lambda ),( 0 , 0 ) :}=(t-4-lambda)(4-lambda)(-lambda)=(t-4-lambda)(-4lambda+lambda^2)=-4lambdat+lambda^2t+16lambda-4lambda^2+4lambda^2-lambda^3=lambda^3-lambda^2t-16lambda+4lambdat=0 $
metto in evidenza $ lambda $ e ottengo $ lambda(lambda^2-lambdat+4t-16)=0 $, da cui tra l'altro un autovalore è $ lambda1=0 $.
quindi devo (?) risolvere per $ lambda $, e avrò: $ lambda1,2=(t+- root()(t^2-4(4t-16)))/2=(t+- root()(t^2-16t+64))/2 $ .
e ci ritroviamo al punto iniziale. fin qua non mi sembra ci sia nulla che non vada.
ora immagino di dover risolvere il $ Delta $ : $ Delta =t^2-16t+64= root()((t-8)^2)=t-8->t=8 $, per cui ritornando alla nostra equazione di secondo grado avrò: $ (t+- 8)/2 $. le due soluzioni sono $ (t+8)/2 $ e $ (t-8)/2 $.
ora queste soluzioni dovrei andarle a sostituire nella matrice al posto di $ t $...
credo ci sia qualche errore...
il procedimento che hai seguito va bene, ma attento a due cose:
1. $sqrt((t-8)^2)=|t-8|$
2. quando vai a sostituire il valore che hai trovato non devi sostituirlo a $t$ ma a $lambda$
1. $sqrt((t-8)^2)=|t-8|$
2. quando vai a sostituire il valore che hai trovato non devi sostituirlo a $t$ ma a $lambda$
scusa eh ma la sostituzione dei "valori trovati" (vale a dire gli autovalori $ lambda1, lambda2,...lambdan $) avviene al momento della determinazione della dimensione degli autospazi $ S(lambda) $ e degli autovettori associati ai rispettivi autovettori.
io finora ho trovato un solo autovalore (ovvero $ lambda1=0 $), mi mancano gli altri due (essendo il polinomio caratteristico di 3 grado in $ lambda $). se andassi a sostituire $ (t+8)/2 $ e $ (t-8)/2 $ a $ lambda $ non avrei più alcun $ lambda $ nella matrice...come trovare gli altri due autovalori allora? sarò duro di comprendonio ma temo di non aver capito come procedere
io finora ho trovato un solo autovalore (ovvero $ lambda1=0 $), mi mancano gli altri due (essendo il polinomio caratteristico di 3 grado in $ lambda $). se andassi a sostituire $ (t+8)/2 $ e $ (t-8)/2 $ a $ lambda $ non avrei più alcun $ lambda $ nella matrice...come trovare gli altri due autovalori allora? sarò duro di comprendonio ma temo di non aver capito come procedere
io pensavo che non sapessi cosa fartene di quei numeri, non avevo capito che non avevi capito che fossero autovalori. detto meglio: quei due numeri che hai trovato sono i tuoi due altri autovalori.
Si vede subito che quella è una matrice triangolare....
Non dovrei aver errato i conti, in caso contrario modificherò
Non dovrei aver errato i conti, in caso contrario modificherò
Mi ci sono rimesso a mente fresca e credo di essere arrivato alla fine anche se non riesco a trarne le dovute conclusioni. Prima di tutto però vi ringrazio per la pazienza
Allora, la mia matrice è $ A=( ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ .
1) calcolo gli autovalori: $ lambda $ autovalore di $ A $ se e solo se $ (A-lambdaI3)=0 $, da cui $ [ ( t-4-lambda , 0 , 4 ),( t , 4-lambda , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) ]=0 $
$ det | ( t-4-lambda , 0 , 4 ),( t , 4-lambda , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) | {: ( t-4-lambda , 0 ),( t , 4-lambda ),( 0 , 0 ) :} = (t-4-lambda)(4-lambda)(-lambda)=(t-4-lambda)(-4lambda+lambda^2)=-4lambdat+lambda^2t+16lambda-4lambda^2+4lambda^2 -lambda^3=-lambda^3+lambda^2t-4lambdat+16lambda=lambda^3-lambda^t+4lambdat-16lambdat=lambda(lambda^2-lambdat+4t-16)=0 $
Il primo autovalore è dunque $ lambda1=0 $. Gli altri due autovalori sono: $ lambda1,2=(t+- root()(t^2-4(1)(4t-16)))/2=(t+- root()(t^2-16t+64))/2=(t+- root()((t-8)^2))/2=(t+- | t-8 | )/2 $, da cui ottengo $ lambda1=(t+t-8)/2=(2t-8)/2=t-4 $ e $ lambda2=(t-t+8)/2=(8)/2=4 $
In sintesi:
$ lambda1=0 , lambda2=t-4 , lambda3=4$, tutti con molteplicità algebrica pari ad $ 1 $.
2) sostituisco gli autovalori a $ lambda $ :
per $ lambda1=0 $ si ha $ | ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) | ->det| ( t-4 , 0 ),( t , 4 ) | =(t-4)(4)=4t-16=0->t=4 $
per $ lambda2=t-4 $ si ha $ | ( t-4-t+4 , 0 , 4 ),( t , 4-t+4 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) | =| ( 0 , 0 , 4 ),( t , -t+8 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) | ->det| ( 0 , 4 ),( -t+8 , 0 ) |=-4(-t+8)=4t-32=0->4t=32->t=8 $
per $ lambda3=4 $ si ha $ | ( t-8 , 0 , 4 ),( t , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -4 ) | ->det| ( t-8 , 4 ),( t , 0 ) | =-4t=0->t=0 $
3) vedo cosa succede se sostituisco i valori di t alla matrice $ lambdaI3 $:
ad es. se $ t=4 $ si ha $ | ( -lambda , 0 , 4 ),( 4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) | =(-lambda)^2(4-lambda)=4lambda^2-lambda^3=lambda^3-4lambda^2=lambda^2(lambda-4) $ da cui $ lambda=0 $ e $ lambda=4 $.
Ora, senza andare avanti con i calcoli (che mi sembrano già troppi ), poiché per $ t=4 $ si hanno due ulteriori valori di $ lambda=0 $ e $ lambda=4 $ , $ m(0) = m(4) $ diventa $ =2 $ ? Vale a dire che la molteplicità algebrica di questi due lambda va ad aggiungersi alla molteplicità algebrica degli autovalori iniziali? Se fosse così ovviamente, essendo per $ t=4$ (e dunque per $ lambda1=0 $) la matrice $ | ( 0 , 0 , 4 ),( 4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) | $ dotata di $ r=2 $, avremo avuto che $ dim(S(0))!= m(0) $ per cui la matrice non è diagonalizzabile.
E' corretto quanto concluso? Vale sempre la "regola" secondo cui, se una volta sostituiti i valori di t alla matrice $lambdaI $ si ottengono valori di $ lambda $ uguali agli autovalori, ciò fa aumentare la loro molteplicità algebrica rendendo la matrice non diagonalizzabile? Ciò, come ha detto giustamente anto_zoolander (che ringrazio), renderebbe la matrice non diagonalizzabile per $t=4, t=8, t=0 $.
Detto tutto questo, il testo mi chiede di determinare i valori di $ t $ per cui invece è diagonalizzabile (ergo $ AA t!= 4,8,0 $) e diagonalizzarla. Come posso procedere?
Allora, la mia matrice è $ A=( ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ .
1) calcolo gli autovalori: $ lambda $ autovalore di $ A $ se e solo se $ (A-lambdaI3)=0 $, da cui $ [ ( t-4-lambda , 0 , 4 ),( t , 4-lambda , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) ]=0 $
$ det | ( t-4-lambda , 0 , 4 ),( t , 4-lambda , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) | {: ( t-4-lambda , 0 ),( t , 4-lambda ),( 0 , 0 ) :} = (t-4-lambda)(4-lambda)(-lambda)=(t-4-lambda)(-4lambda+lambda^2)=-4lambdat+lambda^2t+16lambda-4lambda^2+4lambda^2 -lambda^3=-lambda^3+lambda^2t-4lambdat+16lambda=lambda^3-lambda^t+4lambdat-16lambdat=lambda(lambda^2-lambdat+4t-16)=0 $
Il primo autovalore è dunque $ lambda1=0 $. Gli altri due autovalori sono: $ lambda1,2=(t+- root()(t^2-4(1)(4t-16)))/2=(t+- root()(t^2-16t+64))/2=(t+- root()((t-8)^2))/2=(t+- | t-8 | )/2 $, da cui ottengo $ lambda1=(t+t-8)/2=(2t-8)/2=t-4 $ e $ lambda2=(t-t+8)/2=(8)/2=4 $
In sintesi:
$ lambda1=0 , lambda2=t-4 , lambda3=4$, tutti con molteplicità algebrica pari ad $ 1 $.
2) sostituisco gli autovalori a $ lambda $ :
per $ lambda1=0 $ si ha $ | ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) | ->det| ( t-4 , 0 ),( t , 4 ) | =(t-4)(4)=4t-16=0->t=4 $
per $ lambda2=t-4 $ si ha $ | ( t-4-t+4 , 0 , 4 ),( t , 4-t+4 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) | =| ( 0 , 0 , 4 ),( t , -t+8 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) | ->det| ( 0 , 4 ),( -t+8 , 0 ) |=-4(-t+8)=4t-32=0->4t=32->t=8 $
per $ lambda3=4 $ si ha $ | ( t-8 , 0 , 4 ),( t , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -4 ) | ->det| ( t-8 , 4 ),( t , 0 ) | =-4t=0->t=0 $
3) vedo cosa succede se sostituisco i valori di t alla matrice $ lambdaI3 $:
ad es. se $ t=4 $ si ha $ | ( -lambda , 0 , 4 ),( 4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) | =(-lambda)^2(4-lambda)=4lambda^2-lambda^3=lambda^3-4lambda^2=lambda^2(lambda-4) $ da cui $ lambda=0 $ e $ lambda=4 $.
Ora, senza andare avanti con i calcoli (che mi sembrano già troppi
), poiché per $ t=4 $ si hanno due ulteriori valori di $ lambda=0 $ e $ lambda=4 $ , $ m(0) = m(4) $ diventa $ =2 $ ? Vale a dire che la molteplicità algebrica di questi due lambda va ad aggiungersi alla molteplicità algebrica degli autovalori iniziali? Se fosse così ovviamente, essendo per $ t=4$ (e dunque per $ lambda1=0 $) la matrice $ | ( 0 , 0 , 4 ),( 4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) | $ dotata di $ r=2 $, avremo avuto che $ dim(S(0))!= m(0) $ per cui la matrice non è diagonalizzabile. E' corretto quanto concluso? Vale sempre la "regola" secondo cui, se una volta sostituiti i valori di t alla matrice $lambdaI $ si ottengono valori di $ lambda $ uguali agli autovalori, ciò fa aumentare la loro molteplicità algebrica rendendo la matrice non diagonalizzabile? Ciò, come ha detto giustamente anto_zoolander (che ringrazio), renderebbe la matrice non diagonalizzabile per $t=4, t=8, t=0 $.
Detto tutto questo, il testo mi chiede di determinare i valori di $ t $ per cui invece è diagonalizzabile (ergo $ AA t!= 4,8,0 $) e diagonalizzarla. Come posso procedere?
il punto 2 non ho capito perchè l'hai fatto. una volta trovati gli autovalori, che dipendono da un parametro in questo caso, non è necessario che ricalcoli il polinomio caratteristico. devi fare come ha fatto anto_zoolander e valutare le due molteplicità andando a studiare gli autospazi esattamente come ha fatto.
per scrivere infine la matrice diagonale basta che costruisci una matrice che ha sulla diagonale i tuoi autovalori e dalle altre parti 0. la matrice diagonalizzante è invece costruita affiancando gli autovettori, mantenendo l'ordine che hai usato per la matrice diagonale.
per scrivere infine la matrice diagonale basta che costruisci una matrice che ha sulla diagonale i tuoi autovalori e dalle altre parti 0. la matrice diagonalizzante è invece costruita affiancando gli autovettori, mantenendo l'ordine che hai usato per la matrice diagonale.
autovalori:
$ A=( ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )->( ( t-4-lambda , 0 , 4 ),( t , 4-lambda , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) )->(t-4-lambda)(4-lambda)(-lambda)=(t-4-lambda)(-4+lambda^2)=-4lambdat+lambda^2t+16lambda-4lambda^2+4lambda^t-lambda^3=-lambda^3+lambda^t-4lambdat+16lambda=lambda^3-lambda^2t+4lambdat-16lambda=lambda(lambda^2-lambdat+4t-16)=0 $
$ lambda1,2=(t+- root()(t^2-4(1)(4t-16)))/2=(t+- root()(t^2-16t+64))/2=(t+- root()((t-8)^2))/2=(t+- | t-8 |)/2 $
i tre autovalori sono $ lambda1=0 $ con $ m(0)=1 $, $ lambda2=(t+t-8)/2=t-4 $ con $ m(t-4)=1 $ e $ lambda3=(t-t+8)/2=4 $ con $ m(4)=1 $.
autovettori:
1) $ bar(u) $ autovettore di $ lambda1=0 $ se e solo se $ bar(u)!=bar(0) $ e $ A0bar(u)=bar(0) $:
$ [ ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] ->det| ( t-4 , 0 ),( t , 4 ) | =(t-4)4=4t-16=0 $
se $ t=4->r=1->S(0)=dim(S(0))=dim(Ker[A0])=3-dim(Im[A0])=3-1=2!=m(0) $ non esiste matrice diagonalizzabile
se $ t!=4->r=2->S(0)=dim(S(0))=dim(Ker[A0])=3-dim(Im[A0])=3-2=1=m(0) $ esiste matrice diagonalizzabile
$ { ( 4x3=-(t-4)x1 ),( 4x2=-tx1 ):}{ ( 4x3=-(t-4)((-4x2)/t) ),( x1=(-4x2)/t ):}{ ( x2=(tx3)/(t-4) ),( x1=(-4x3)/(t-4) ):} $
pongo $ x3=h in R -> bar(u)=[ ( (-4h)/(t-4) ),( (-ht)/(t-4) ),( h ) ] ->h[ ( (-4)/(t-4) ),( (-t)/(t-4) ),( 1 ) ] $
2) $ bar(v) $ autovettore di $ lambda2=t-4 $ se e solo se $ bar(v)!=bar(0) $ e $ At-4bar(v)=bar(0) $:
$ [ ( t-4-t+4 , 0 , 4 ),( t , 4-t+4 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) ] ->[ ( 0 , 0 , 4 ),( t , -t+8 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) ] -> det| ( 0 , 4 ),( -t+8 , 0 ) | =-4(-t+8)=4t-32=0 $
se $ t=8->r=1->S(t-4)=dim(S(t-4))=dim(Ker[At-4])=3-dim(Im[At-4])=3-1=2!=m(t-4) $ non esiste matrice diagonalizzabile
se $ t!=8->r=2->S(t-4)=dim(S(t-4))=dim(Ker[At-4])=3-dim(Im[At-4])=3-2=1=m(t-4) $ esiste matrice diagonalizzabile
$ { ( 4x3=0 ),( (-t+8)x2=-tx1 ):}{ ( x3=0 ),( -tx2+8x2=-tx1 ):}{ ( x3=0 ),( tx1=tx2-8x2 ):}{ ( x3=0 ),( x1=x2-(8x2)/t ):} $
pongo $ x2=k in R -> bar(v)=[ ( k-(8k)/t ),( k ),( 1 ) ] ->k[ ( 1-(8)/t ),( 1 ),( 0 ) ] $
...stessa cosa per $ bar(t) $ autovettore di $ lambda3=4 $.
poi costruisco la matrice diagonale ponendo gli autovalori sulla diagonale principale e tutti i restanti valori 0, la diagonalizzante come matrice degli autovettori relativi ai rispettivi autovettori e per verificarne la correttezza deve valere la condizione $ P^-1AP=D $ con $ P^-1 = (1)/det* $ la matrice trasposta della matrice dei cofattori.
ditemi che è corretto vi prego
$ A=( ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )->( ( t-4-lambda , 0 , 4 ),( t , 4-lambda , 0 ),( 0 , 0 , -lambda ) )->(t-4-lambda)(4-lambda)(-lambda)=(t-4-lambda)(-4+lambda^2)=-4lambdat+lambda^2t+16lambda-4lambda^2+4lambda^t-lambda^3=-lambda^3+lambda^t-4lambdat+16lambda=lambda^3-lambda^2t+4lambdat-16lambda=lambda(lambda^2-lambdat+4t-16)=0 $
$ lambda1,2=(t+- root()(t^2-4(1)(4t-16)))/2=(t+- root()(t^2-16t+64))/2=(t+- root()((t-8)^2))/2=(t+- | t-8 |)/2 $
i tre autovalori sono $ lambda1=0 $ con $ m(0)=1 $, $ lambda2=(t+t-8)/2=t-4 $ con $ m(t-4)=1 $ e $ lambda3=(t-t+8)/2=4 $ con $ m(4)=1 $.
autovettori:
1) $ bar(u) $ autovettore di $ lambda1=0 $ se e solo se $ bar(u)!=bar(0) $ e $ A0bar(u)=bar(0) $:
$ [ ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] ->det| ( t-4 , 0 ),( t , 4 ) | =(t-4)4=4t-16=0 $
se $ t=4->r=1->S(0)=dim(S(0))=dim(Ker[A0])=3-dim(Im[A0])=3-1=2!=m(0) $ non esiste matrice diagonalizzabile
se $ t!=4->r=2->S(0)=dim(S(0))=dim(Ker[A0])=3-dim(Im[A0])=3-2=1=m(0) $ esiste matrice diagonalizzabile
$ { ( 4x3=-(t-4)x1 ),( 4x2=-tx1 ):}{ ( 4x3=-(t-4)((-4x2)/t) ),( x1=(-4x2)/t ):}{ ( x2=(tx3)/(t-4) ),( x1=(-4x3)/(t-4) ):} $
pongo $ x3=h in R -> bar(u)=[ ( (-4h)/(t-4) ),( (-ht)/(t-4) ),( h ) ] ->h[ ( (-4)/(t-4) ),( (-t)/(t-4) ),( 1 ) ] $
2) $ bar(v) $ autovettore di $ lambda2=t-4 $ se e solo se $ bar(v)!=bar(0) $ e $ At-4bar(v)=bar(0) $:
$ [ ( t-4-t+4 , 0 , 4 ),( t , 4-t+4 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) ] ->[ ( 0 , 0 , 4 ),( t , -t+8 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) ] -> det| ( 0 , 4 ),( -t+8 , 0 ) | =-4(-t+8)=4t-32=0 $
se $ t=8->r=1->S(t-4)=dim(S(t-4))=dim(Ker[At-4])=3-dim(Im[At-4])=3-1=2!=m(t-4) $ non esiste matrice diagonalizzabile
se $ t!=8->r=2->S(t-4)=dim(S(t-4))=dim(Ker[At-4])=3-dim(Im[At-4])=3-2=1=m(t-4) $ esiste matrice diagonalizzabile
$ { ( 4x3=0 ),( (-t+8)x2=-tx1 ):}{ ( x3=0 ),( -tx2+8x2=-tx1 ):}{ ( x3=0 ),( tx1=tx2-8x2 ):}{ ( x3=0 ),( x1=x2-(8x2)/t ):} $
pongo $ x2=k in R -> bar(v)=[ ( k-(8k)/t ),( k ),( 1 ) ] ->k[ ( 1-(8)/t ),( 1 ),( 0 ) ] $
...stessa cosa per $ bar(t) $ autovettore di $ lambda3=4 $.
poi costruisco la matrice diagonale ponendo gli autovalori sulla diagonale principale e tutti i restanti valori 0, la diagonalizzante come matrice degli autovettori relativi ai rispettivi autovettori e per verificarne la correttezza deve valere la condizione $ P^-1AP=D $ con $ P^-1 = (1)/det* $ la matrice trasposta della matrice dei cofattori.
ditemi che è corretto vi prego
da una veloce letta (mi sembra di si). ma i conti ora non sono troppo importanti, basta che hai capito il procedimento i conti li puoi controllare poi con calma.
anche la parte finale è corretta. fai a meno di fare la verifica, seguendo il procedimento indicato è automaticamente verificato, se fai tutto bene.
anche la parte finale è corretta. fai a meno di fare la verifica, seguendo il procedimento indicato è automaticamente verificato, se fai tutto bene.
ho capito, ti ringrazio
scusate ma sono costretto a riaprire una mia vecchia discussione dato che svolgendo un altro esercizio sono sorti parecchi dubbi. e spero che con il vostro aiuto io possa finalmente capire.
CASO 1 - Se considero l'autovettore $ lambda1=0 $ la matrice che si viene a determinare è $ [ ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $ . Dato che il minore di ordine 3 (ovvero la matrice completa) ha $ det=0 $ sono costretto a prendere un minore di ordine 2.
Se prendo il minore $ [ ( t-4 , 0 ),( t , 4 ) ] $ e ne calcolo il determinate avrò: $ det | ( t-4 , 0 ),( t , 4 ) | =4(t-4)=4t-16=0 $ che per $ t=4 $ si annulla. Avevamo dunque concluso che se $ t=4-> det | ( 0 , 0 ),( 4 , 4 ) | =0-> r=1 $, da cui $ dim(Ker[A0])=3-dim(Im[A0])=3-1=2 $, il che vuol dire che essendo molteplicità geometrica e molteplicità algebrica diverse la matrice non è diagonalizzabile. Tuttavia andando a sostituire $ t=4 $ alla matrice completa avrei $ [ ( 0 , 0 , 4 ),( 4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $,il cui rango come ha detto anto_zoolander è $ r=2 $, tuttavia proprio per questo varrà l'equivalenza tra molteplicità geometrica e algebrica e quindi la matrice sarà diagonalizzabile.
D'altro canto se anziché considerare il minore con parametro avessi preso il minore $ [ ( 0 , 4 ),( 4 , 0 ) ] $ la matrice sarebbe stata sempre diagonalizzabile (dato il suo rango sarebbe stato sempre =2). Ne concludo che per $ t=4 $ la matrice è sempre diagonalizzabile.
CASO 2 - Se considero l'autovettore $ lambda1=t-4 $ la matrice che si viene a determinare è $ [ ( 0 , 0 , 4 ),( t , -t+8 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) ] $ . Dato che il minore di ordine 3 (ovvero la matrice completa) ha $ det=0 $ sono costretto a prendere un minore di ordine 2.
Se prendo il minore $ [ ( 0 , 4 ),( -t+8 , 0 ) ] $ e ne calcolo il determinate avrò: $ det | ( 0 , 4 ),( -t+8 , 0 ) | =-4(-t+8)=4t-32=0 $ che per $ t=8 $ si annulla. Avevamo dunque concluso che se $ t=8-> det | ( 0 , 4 ),( 0 , 0 ) | =0-> =1 $, da cui $ dim(Ker[A0])=3-dim(Im[A0])=3-1=2 $, il che vuol dire che essendo molteplicità geometrica e molteplicità algebrica diverse la matrice non è diagonalizzabile. Tuttavia andando a sostituire $ t=8 $ alla matrice completa avrei $ [ ( 0 , 0 , 4 ),( 8 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 4 ) ] $,il cui rango (se considero il minore $ | ( 0 , 4 ),( 8 , 0 ) | $ ) è $ r=2 $, quindi la matrice sarà diagonalizzabile anche per $ t=8 $.
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--> Insomma: perché dite che per quei valori ($ t=4, t=8, t=0 $) la matrice non è diagonalizzabile? Nel primo caso, già considerando un minore diverso da quello con parametro avrei sempre $ r=2 $ il che implica sempre la possibilità di diagonalizzare. Nel secondo caso, sostituendo 8 alla matrice e considerando il minore $ | ( 0 , 4 ),( 8 , 0 ) | $ avrei sempre $ r=2 $ e quindi sempre la possibilità di diagonalizzare.
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Questi dubbi mi sono sorti facendo quest'altro esercizio, che allego per farvi capire meglio se e dove sbaglio.
"Data la matrice dipendente da parametro $ A= ( ( 2 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2 , t ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ verifica che è diagonalizzabile per tutti i valori di t, quindi diagonalizzala".
$ A= ( ( 2 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2 , t ),( 0 , 0 , 0 ) ) = [ ( 2-lambda , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2-lambda , t ),( 0 , 0 , -lambda ) ] ->det| ( 2-lambda , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2-lambda , t ),( 0 , 0 , -lambda ) | {: ( 2-lambda , 0 ),( 0 , 2-lambda ),( 0 , 0 ) :} =(2-lambda)^2(-lambda)=-4lambda-lambda^3+lambda^2=lambda^3-4lambda^2+4lambda=lambda(lambda^2-4lambda+4)=0 $
da cui $ lambda1=0 $ e $ lambda^2-4lambda+4=0 -> lambda2,3=2+-root()(4-4)=2 $. Il primo autovalore ha molteplicità algebrica 1 e il secondo molteplicità algebrica 2.
$ bar(u) $ autovettore di $ lambda1=0 $ se e solo se $ bar(u)!=bar(0) $ e $ A0bar(u)=bar(0) $:
$ [ ( 2 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2 , t ),( 0 , 0 , 0 ) ] $ ORA LA DOMANDA E': DEVO CONSIDERARE PER FORZA IL MINORE CHE HA AL SUO INTERNO IL PARAMETRO O POSSO CONSIDERARNE ANCHE UN ALTRO? Perché se considero il minore $ [ ( 2 , 0 ),( 0 , 2 ) ] $ ho che $ r=2 $, quindi la matrice è diagonalizzabile. Se invece considero il minore $ [ ( 2 , 1-t^2 ),( 0 , t ) ] $ avrò $ det | ( 2, 1-t^2), ( 0, t ) ] = 2t -> t=0 $, il che se fosse giusto il ragionamento fatto in precedenza dovrebbe farmi concludere che per $ t=0 $ la matrice non è diagonalizzabile dato che $ det | ( 2, 1), ( 0, 0 ) ] = 0 -> r=1 $. Eppure il testo dell'esercizio dice "verifica che è diagonalizzabile per tutti i valori di $ t $".
$ bar(v) $ autovettore di $ lambda2=2 $ se e solo se $ bar(v)!=bar(0) $ e $ A0bar(v)=bar(0) $:
$ [ ( 0 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 0 , t ),( 0 , 0 , -2 ) ] $ Qui il fatto che la matrice sia diagonalizzabile per tutti i valori di $ t $ dovrebbe dipendere dal fatto che, essendoci quel $ -2 $, la matrice (a prescindere dal valore di $ t $ scelto, avrà sempre $ r=1 $, il che vuol dire che molteplicità geometrica e molteplicità algebrica si uguaglieranno sempre .
Qualcuno mi aiuti, ho veramente una gran confusione riguardo questo tipo di esercizi.
CASO 1 - Se considero l'autovettore $ lambda1=0 $ la matrice che si viene a determinare è $ [ ( t-4 , 0 , 4 ),( t , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $ . Dato che il minore di ordine 3 (ovvero la matrice completa) ha $ det=0 $ sono costretto a prendere un minore di ordine 2.
Se prendo il minore $ [ ( t-4 , 0 ),( t , 4 ) ] $ e ne calcolo il determinate avrò: $ det | ( t-4 , 0 ),( t , 4 ) | =4(t-4)=4t-16=0 $ che per $ t=4 $ si annulla. Avevamo dunque concluso che se $ t=4-> det | ( 0 , 0 ),( 4 , 4 ) | =0-> r=1 $, da cui $ dim(Ker[A0])=3-dim(Im[A0])=3-1=2 $, il che vuol dire che essendo molteplicità geometrica e molteplicità algebrica diverse la matrice non è diagonalizzabile. Tuttavia andando a sostituire $ t=4 $ alla matrice completa avrei $ [ ( 0 , 0 , 4 ),( 4 , 4 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ] $,il cui rango come ha detto anto_zoolander è $ r=2 $, tuttavia proprio per questo varrà l'equivalenza tra molteplicità geometrica e algebrica e quindi la matrice sarà diagonalizzabile.
D'altro canto se anziché considerare il minore con parametro avessi preso il minore $ [ ( 0 , 4 ),( 4 , 0 ) ] $ la matrice sarebbe stata sempre diagonalizzabile (dato il suo rango sarebbe stato sempre =2). Ne concludo che per $ t=4 $ la matrice è sempre diagonalizzabile.
CASO 2 - Se considero l'autovettore $ lambda1=t-4 $ la matrice che si viene a determinare è $ [ ( 0 , 0 , 4 ),( t , -t+8 , 0 ),( 0 , 0 , -t+4 ) ] $ . Dato che il minore di ordine 3 (ovvero la matrice completa) ha $ det=0 $ sono costretto a prendere un minore di ordine 2.
Se prendo il minore $ [ ( 0 , 4 ),( -t+8 , 0 ) ] $ e ne calcolo il determinate avrò: $ det | ( 0 , 4 ),( -t+8 , 0 ) | =-4(-t+8)=4t-32=0 $ che per $ t=8 $ si annulla. Avevamo dunque concluso che se $ t=8-> det | ( 0 , 4 ),( 0 , 0 ) | =0-> =1 $, da cui $ dim(Ker[A0])=3-dim(Im[A0])=3-1=2 $, il che vuol dire che essendo molteplicità geometrica e molteplicità algebrica diverse la matrice non è diagonalizzabile. Tuttavia andando a sostituire $ t=8 $ alla matrice completa avrei $ [ ( 0 , 0 , 4 ),( 8 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 4 ) ] $,il cui rango (se considero il minore $ | ( 0 , 4 ),( 8 , 0 ) | $ ) è $ r=2 $, quindi la matrice sarà diagonalizzabile anche per $ t=8 $.
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--> Insomma: perché dite che per quei valori ($ t=4, t=8, t=0 $) la matrice non è diagonalizzabile? Nel primo caso, già considerando un minore diverso da quello con parametro avrei sempre $ r=2 $ il che implica sempre la possibilità di diagonalizzare. Nel secondo caso, sostituendo 8 alla matrice e considerando il minore $ | ( 0 , 4 ),( 8 , 0 ) | $ avrei sempre $ r=2 $ e quindi sempre la possibilità di diagonalizzare.
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Questi dubbi mi sono sorti facendo quest'altro esercizio, che allego per farvi capire meglio se e dove sbaglio.
"Data la matrice dipendente da parametro $ A= ( ( 2 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2 , t ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ verifica che è diagonalizzabile per tutti i valori di t, quindi diagonalizzala".
$ A= ( ( 2 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2 , t ),( 0 , 0 , 0 ) ) = [ ( 2-lambda , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2-lambda , t ),( 0 , 0 , -lambda ) ] ->det| ( 2-lambda , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2-lambda , t ),( 0 , 0 , -lambda ) | {: ( 2-lambda , 0 ),( 0 , 2-lambda ),( 0 , 0 ) :} =(2-lambda)^2(-lambda)=-4lambda-lambda^3+lambda^2=lambda^3-4lambda^2+4lambda=lambda(lambda^2-4lambda+4)=0 $
da cui $ lambda1=0 $ e $ lambda^2-4lambda+4=0 -> lambda2,3=2+-root()(4-4)=2 $. Il primo autovalore ha molteplicità algebrica 1 e il secondo molteplicità algebrica 2.
$ bar(u) $ autovettore di $ lambda1=0 $ se e solo se $ bar(u)!=bar(0) $ e $ A0bar(u)=bar(0) $:
$ [ ( 2 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 2 , t ),( 0 , 0 , 0 ) ] $ ORA LA DOMANDA E': DEVO CONSIDERARE PER FORZA IL MINORE CHE HA AL SUO INTERNO IL PARAMETRO O POSSO CONSIDERARNE ANCHE UN ALTRO? Perché se considero il minore $ [ ( 2 , 0 ),( 0 , 2 ) ] $ ho che $ r=2 $, quindi la matrice è diagonalizzabile. Se invece considero il minore $ [ ( 2 , 1-t^2 ),( 0 , t ) ] $ avrò $ det | ( 2, 1-t^2), ( 0, t ) ] = 2t -> t=0 $, il che se fosse giusto il ragionamento fatto in precedenza dovrebbe farmi concludere che per $ t=0 $ la matrice non è diagonalizzabile dato che $ det | ( 2, 1), ( 0, 0 ) ] = 0 -> r=1 $. Eppure il testo dell'esercizio dice "verifica che è diagonalizzabile per tutti i valori di $ t $".
$ bar(v) $ autovettore di $ lambda2=2 $ se e solo se $ bar(v)!=bar(0) $ e $ A0bar(v)=bar(0) $:
$ [ ( 0 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 0 , t ),( 0 , 0 , -2 ) ] $ Qui il fatto che la matrice sia diagonalizzabile per tutti i valori di $ t $ dovrebbe dipendere dal fatto che, essendoci quel $ -2 $, la matrice (a prescindere dal valore di $ t $ scelto, avrà sempre $ r=1 $, il che vuol dire che molteplicità geometrica e molteplicità algebrica si uguaglieranno sempre .
Qualcuno mi aiuti, ho veramente una gran confusione riguardo questo tipo di esercizi.
non capisco perchè ti ostini a calcolare il determinante di quella matrice, non serve. per capire se una matrice è diagonalizzabile vai a studiare l'autospazio. devi quindi risolvere il sistema:
$ (A-lambda_iI)=0 $
facendo i calcoli dovresti poter arrivare a dare delle condizioni su t per la diagonizzabilità.
guarda questa discussione. credo faccia al caso tuo.
$ (A-lambda_iI)=0 $
facendo i calcoli dovresti poter arrivare a dare delle condizioni su t per la diagonizzabilità.
guarda questa discussione. credo faccia al caso tuo.
Ho letto la discussione che gentilmente mi hai linkato e sono giunto alle tue stesse conclusioni. Solo che questa matrice non lo so, mi mette in difficoltà . Fatto sta che il procedimento corretto dovrebbe essere:
1) calcolo degli autovalori
2) per ognuno di essi calcolo degli autospazi (e nel farlo non devo necessariamente considerare i minori contenenti il parametro ma posso prenderne uno a caso, anche privo di parametro, esattamente come nel caso di calcolo degli autospazi per matrici senza parametro)
3) per determinare per quali valori di $ t $ la matrice è diagonalizzabile devo prendere espressamente i minori con parametro e giungere alla seguente conclusione: se il minore si annulla per un determinato valore di $ t $ la matrice non è diagonalizzabile, viceversa la diagonalizzazione è possibile. Basta questo. Non devo andare a risostituire il valore di $ t $ individuato nella matrice $ Alambdabar(x) $ e calcolare il determinante, non serve (come hai giustamente detto tu).
Spero sia corretto. Nel qual caso, grazie mille per la pazienza
. Fatto sta che il procedimento corretto dovrebbe essere:1) calcolo degli autovalori
2) per ognuno di essi calcolo degli autospazi (e nel farlo non devo necessariamente considerare i minori contenenti il parametro ma posso prenderne uno a caso, anche privo di parametro, esattamente come nel caso di calcolo degli autospazi per matrici senza parametro)
3) per determinare per quali valori di $ t $ la matrice è diagonalizzabile devo prendere espressamente i minori con parametro e giungere alla seguente conclusione: se il minore si annulla per un determinato valore di $ t $ la matrice non è diagonalizzabile, viceversa la diagonalizzazione è possibile. Basta questo. Non devo andare a risostituire il valore di $ t $ individuato nella matrice $ Alambdabar(x) $ e calcolare il determinante, non serve (come hai giustamente detto tu).
Spero sia corretto. Nel qual caso, grazie mille per la pazienza
mi sembra che sia corretta l'impostazione. personalmente comunque per calcolare gli autospazi non ho mai usato i minori (ragiono sul sistema e basta) ma magari è un metodo che non conosco.
(t−4−λ)(−4λ+λ2) scusate se vi correggo ma senza fare i calcoli raggruppi λ e ottieni (t-4-λ)(λ(λ-4)) quindi hai λ(1) = t-4, λ(2)=0 e λ(3) = 4 e risparmi calcoli inutili che potresti sbagliare per disattenzione
va bhe come uno calcola gli autovalori è piuttosto indifferente. sicuramente con la tua scorciatoia (molto utilee) eviti dei calcoli e minimizzi gli errori, ma non era in particolare quello il problema dell'utente. lì basta prestare un po' d'attenzione ai calcoli.
Un ultima cosa, nella speranza di togliermi ogni dubbio relativamente a questo genere di esercizi.
Relativamente al secondo esercizio, al momento del calcolo dell'autovettore relativo a $ lambda2=2 $ risultante dalla matrice $ [ ( 0 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 0 , t ),( 0 , 0 , -2 ) ] $ vado a porre per rouchè-capelli $ -2x3=0 -> x3=0 $, quindi imponendo $ k=x1 in R $ e $ l=x2 in R $ ottengo come autovettore $ (k,l,0) $.
A questo punto, sapendo che la matrice diagonalizzante è composta da tutti autovettori tra loro indipendenti devo trovare due autovettori che soddisfino tale condizione. Se pongo per il primo autovettore $ k=1 $ e $ l=0 $, e per il secondo autovettore $ k=0 $ e $ l=1 $, trovo che $ det | ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) | = 1!=0 $ quindi gli autovettori sono linearmente indipendenti per cui i due autovettori relativi all'autovalore $ lambda=2 $ possono essere $ (1,0,0) $ e $ (0,1,0) $.
E' corretto?
Relativamente al secondo esercizio, al momento del calcolo dell'autovettore relativo a $ lambda2=2 $ risultante dalla matrice $ [ ( 0 , 0 , 1-t^2 ),( 0 , 0 , t ),( 0 , 0 , -2 ) ] $ vado a porre per rouchè-capelli $ -2x3=0 -> x3=0 $, quindi imponendo $ k=x1 in R $ e $ l=x2 in R $ ottengo come autovettore $ (k,l,0) $.
A questo punto, sapendo che la matrice diagonalizzante è composta da tutti autovettori tra loro indipendenti devo trovare due autovettori che soddisfino tale condizione. Se pongo per il primo autovettore $ k=1 $ e $ l=0 $, e per il secondo autovettore $ k=0 $ e $ l=1 $, trovo che $ det | ( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) | = 1!=0 $ quindi gli autovettori sono linearmente indipendenti per cui i due autovettori relativi all'autovalore $ lambda=2 $ possono essere $ (1,0,0) $ e $ (0,1,0) $.
E' corretto?
direi di si
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