Dubbio su un banale sistema lagrangiano
Come è diventata mia abitudine per quegli esercizi che richiedono la ricerca di massimi e minimi vincolati, a seguito dello svolgimento vado su wolframalpha a controllare i risultati. Tuttavia in un esercizio (che richiede minimi e massimi data la funzione $ f(x,y)=x^2-y^2 $ e il vincolo $ g(x,y)=-y^2-x^y+1=0 $) il programma non considera alcuni punti critici.
Io ottengo come risultati del sistema $ { ( 2x-2lambdaxy=0 ),( -2y-2lambday-lambdax^2=0 ),( -y^2-x^2y+1=0 ):} $ le soluzioni $ (0,1,-1) $ e $ (0,-1,-1) $. Difatti, scrivendo il vincolo come $ -y^2-x^2y=-1->-y(y+x^2)=-1 $, si ha che per $ -y=-1 -> (0,1,-1) $ e per $ y+x^2=-1 -> (0,-1,-1) $. E fin qua mi trovo in linea col programma.
Tuttavia, specificatamente al secondo caso, si ha che: $ y+x^2=1->x^2=-1-y->-2y-2lambday-lambda(1-y)=0 $ da cui $ y=(lambda)/(2+lambda) $ . Sostituendo nella prima diventa $ 2x-2lambdax((lambda)/(2+lambda))=0->2lambda^2x-2lambdax-4x=0->2x(lambda^2-lambda-2)=0 $ per cui, per $ 2x=0 $ si ha il punto $ (0,-1,-1) $ (come già detto), ma per $ lambda^2 - lambda - 2=0 $ si hanno soluzioni comunque reali, e non complesse che sarebbe poi l'unica ragione per non considerarle.
Qualcuno ha qualche idea sul perché di tale esclusione?
Io ottengo come risultati del sistema $ { ( 2x-2lambdaxy=0 ),( -2y-2lambday-lambdax^2=0 ),( -y^2-x^2y+1=0 ):} $ le soluzioni $ (0,1,-1) $ e $ (0,-1,-1) $. Difatti, scrivendo il vincolo come $ -y^2-x^2y=-1->-y(y+x^2)=-1 $, si ha che per $ -y=-1 -> (0,1,-1) $ e per $ y+x^2=-1 -> (0,-1,-1) $. E fin qua mi trovo in linea col programma.
Tuttavia, specificatamente al secondo caso, si ha che: $ y+x^2=1->x^2=-1-y->-2y-2lambday-lambda(1-y)=0 $ da cui $ y=(lambda)/(2+lambda) $ . Sostituendo nella prima diventa $ 2x-2lambdax((lambda)/(2+lambda))=0->2lambda^2x-2lambdax-4x=0->2x(lambda^2-lambda-2)=0 $ per cui, per $ 2x=0 $ si ha il punto $ (0,-1,-1) $ (come già detto), ma per $ lambda^2 - lambda - 2=0 $ si hanno soluzioni comunque reali, e non complesse che sarebbe poi l'unica ragione per non considerarle.
Qualcuno ha qualche idea sul perché di tale esclusione?
Risposte
io avrei considerato i casi $x=0$ e $1-lambday=0$. mi sembrano più immediati. tra l'altro quando risolvi questa equazione
sbagli. non puoi applicare la legge di annullamento del prodotto, funziona solo se c'è 0 e non -1. per capirci non puoi fare:
$ -y(y+x^2)=-1 $ se e solo se $-y = -1$ oppure $y+x^2 =-1$
$ -y(y+x^2)=-1 $
sbagli. non puoi applicare la legge di annullamento del prodotto, funziona solo se c'è 0 e non -1. per capirci non puoi fare:
$ -y(y+x^2)=-1 $ se e solo se $-y = -1$ oppure $y+x^2 =-1$
Ah, questa mi giunge nuova. Ed è un problema dato che diversi esercizi li ho risolti in quel modo.
Se posso allora, come mai si ricavano soluzioni reali anche operando in questo modo?
Se posso allora, come mai si ricavano soluzioni reali anche operando in questo modo?
Ho rifatto il sistema: non so perché onestamente non abbia preso in considerazione prima la prima equazione $ 2x(1-lambday)=0 $. 
Infatti se $ 2x=0->x=0->-y^2+1=0->y=+-1 $ da cui si ricavano entrambe le soluzioni reali. Tuttavia si pone di nuovo il "dilemma" $ 1-lambday=0 $. Se $ y=(1)/lambda $, sostituendo nella terza equazione si ottengono due valori di $ lambda $ che, seppur non bellissimi ($ (1+-root()(1+8x^2))/(2x^2) $), risultano reali dato $ x $ elevato al quadrato. Quindi perché non vengono prese in considerazione?
Infatti se $ 2x=0->x=0->-y^2+1=0->y=+-1 $ da cui si ricavano entrambe le soluzioni reali. Tuttavia si pone di nuovo il "dilemma" $ 1-lambday=0 $. Se $ y=(1)/lambda $, sostituendo nella terza equazione si ottengono due valori di $ lambda $ che, seppur non bellissimi ($ (1+-root()(1+8x^2))/(2x^2) $), risultano reali dato $ x $ elevato al quadrato. Quindi perché non vengono prese in considerazione?
no che non si pone.
sia $y=1/(lambda)$ (nota che il tutto vale se $lambda != 0$, ma questo è sempre valido perchè il caso $lambda = 0$ ripropone $y=1$ che è il punto precedente):
dalla terza ricaviamo non $lambda$ bensì $x$. risulta $x=+- sqrt(lambda-1/lambda)$ (a te le condizioni di esistenza)
sapendo ora i valori della $x$ e della $y$ sostituiamo nella seconda e troviamo l'espressione seguente:
che possiamo semplificare in $lambda^3 + lambda +2=0$. a sua volta questa (per esempio con Ruffini) diventa:
su questa applichiamo la legge di annullamento del prodotto e scopriamo che l'unica soluzione possibile è $lambda = -1$. il delta della seconda parentesi è infatti negativo.
ma questa soluzione riconduce ancora una volta ai punti già calcolati.
ne consegue che gli unici candidati ad essere max/min sono $(0,1,-1) ^^ (0,-1,-1)$.
sia $y=1/(lambda)$ (nota che il tutto vale se $lambda != 0$, ma questo è sempre valido perchè il caso $lambda = 0$ ripropone $y=1$ che è il punto precedente):
dalla terza ricaviamo non $lambda$ bensì $x$. risulta $x=+- sqrt(lambda-1/lambda)$ (a te le condizioni di esistenza)
sapendo ora i valori della $x$ e della $y$ sostituiamo nella seconda e troviamo l'espressione seguente:
$-2/lambda - 1 - lambda^2 =0$
che possiamo semplificare in $lambda^3 + lambda +2=0$. a sua volta questa (per esempio con Ruffini) diventa:
$(lambda + 1)(lambda^2-lambda+2)=0$
su questa applichiamo la legge di annullamento del prodotto e scopriamo che l'unica soluzione possibile è $lambda = -1$. il delta della seconda parentesi è infatti negativo.
ma questa soluzione riconduce ancora una volta ai punti già calcolati.
ne consegue che gli unici candidati ad essere max/min sono $(0,1,-1) ^^ (0,-1,-1)$.
è vero! cooper 
"dino!":
è vero! cooper
esagerato!
per così poco poi!
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