Domanda veloce sistema lineare di matrici

[abaco90]

Ciao a tutti ho questo sistema

\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -4 \\
-3 & -1 & 2 \\
7 & -1 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 \\ 1 \\ 1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
e devo determinare se ha soluzioni oppure no. Per farlo che metodi posso usare?
Ad esempio io so che se il determinante è = 0 il sistema è impossibile o indeterminato.
Ma si intende il determinante della matrice a sinistra dell'uguale o della matrice intera contenente anche gli 1 ??

Grazie!

[@melia]

La matrice intera, che si chiama completa, è rettangolare. Non è possibile calcolarne il determinante.

PS Non è che ti sei dimenticato la colonna delle incognite?

[abaco90]

Quindi devo includere gli 1 e poi casomai trovare il determinante?

[matteoorlandini]

Puoi usare il teorema di Rouchè-Capelli. L'enunciato del teorema è: sia Ax=b un sistema lineare di m equazioni in n incognite, con A matrice incompleta \begin{equation*}
A =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -4 \\
-3 & -1 & 2 \\
7 & -1 & 2
\end{pmatrix}
\end{equation*} e A' matrice completa
\begin{equation*}
A' =
\begin{pmatrix}
1 & 2 & -4 & 1\\
-3 & -1 & 2 & 1\\
7 & -1 & 2 &1\\
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Il sistema ammette soluzione se e solo se il rango di A è uguale al rango di A', inoltre se ammette soluzione questa è unica se e solo se il rango di A è uguale a n. Per trovare il rango è sufficiente effettuare una riduzione a scala.