Riduzione a forma canonica di una conica
Buongiorno a tutti,
ho provato a risolvere il seguente esercizio ma, seppur piuttosto convinto del procedimento (che è quello spiegatomi dal prof.) e sicuro dei conti (controllati con il calcolatore), pervengo ad un risultato che mi lascia alquanto perplesso. Sarei molto grato a chiunque avesse la pazienza di vedere dove ho commesso degli errori. Vi ringrazio in anticipo!
Testo: Ridurre a forma canonica la conica $\Gamma(x,y):8x^2+8xy+2y^2-5y=0$.
Svolgimento:
Siccome
\begin{equation}
det(A)=\begin{pmatrix} 8&4&0\\4&2&-\frac{5}{2}\\0&-\frac{5}{2}&0\end{pmatrix}=-50\neq 0
\end{equation}
\begin{equation}
det(Q)=\begin{pmatrix} 8&4\\4&2\end{pmatrix}=0
\end{equation}
$\Gamma$ è una parabola.
La ricerca degli autovalori di $Q$ porta a:
\begin{equation}
det(Q-\lambda I)=\begin{vmatrix} 8-\lambda&4\\4&2-\lambda\end{vmatrix}=\lambda(\lambda-10)=0
\end{equation}
i.e. $\lambda_{1}=0$ and$\lambda_{2}=10$.
Gli autospazi relativi ai due autovalori sono $E(\lambda_{1})=\mathcal{L}(-\frac{1}{2},1)$ e $E(\lambda_{2})=\mathcal{L}(2,1)$. Le basi di detti spazi sono evidentemente ortogonali (visto che i due autospazi sono monodimensionali, e dunque hanno base composta da un solo vettore). Il primo dei due vettori, $v=(-\frac{1}{2},1)$ può essere normalizzato dividendolo per il suo modulo $\frac{\sqrt{5}}{2}$ mentre il secondo, $w=(2,1)$, dividendo per $\sqrt{5}$. Allora, la matrice di rotazione $R$ è:
\begin{equation}
\tilde{R}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}&2\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{5}}\\\frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\\\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}
\end{equation}
Quest'ultima ha determinante $-1$ mentre ai fini del procedimento deve avere $det(R)=1$, ragion per cui cambio il segno (questa è la parte che mi è meno chiara, a dire il vero, del procedimento):
\begin{equation}
R=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\\-\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}
\end{equation}
Segue che:
\begin{equation}
\begin{cases} x=\frac{1}{\sqrt{5}}(\tilde{x}+2\tilde{y})\\y=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2\tilde{x}+\tilde{y})\end{cases}
\end{equation}
Sostituendo quanto trovato nell'equazione della conica e svolgendo i conti, ottengo:
\begin{equation}
\Gamma(\tilde{x},\tilde{y}):10\tilde{y}^2+2\sqrt{5}\tilde{x}-\sqrt{5}\tilde{y}=0
\end{equation}
A questo punto dovrei concludere con la traslazione, effettuata algebricamente con un completamento dei quadrati, ma non mi convince il fatto che ottengo un termine in $x$ ma non in $x^2$.
Spero di non aver scritto troppe dabbenaggini!
ho provato a risolvere il seguente esercizio ma, seppur piuttosto convinto del procedimento (che è quello spiegatomi dal prof.) e sicuro dei conti (controllati con il calcolatore), pervengo ad un risultato che mi lascia alquanto perplesso. Sarei molto grato a chiunque avesse la pazienza di vedere dove ho commesso degli errori. Vi ringrazio in anticipo!
Testo: Ridurre a forma canonica la conica $\Gamma(x,y):8x^2+8xy+2y^2-5y=0$.
Svolgimento:
Siccome
\begin{equation}
det(A)=\begin{pmatrix} 8&4&0\\4&2&-\frac{5}{2}\\0&-\frac{5}{2}&0\end{pmatrix}=-50\neq 0
\end{equation}
\begin{equation}
det(Q)=\begin{pmatrix} 8&4\\4&2\end{pmatrix}=0
\end{equation}
$\Gamma$ è una parabola.
La ricerca degli autovalori di $Q$ porta a:
\begin{equation}
det(Q-\lambda I)=\begin{vmatrix} 8-\lambda&4\\4&2-\lambda\end{vmatrix}=\lambda(\lambda-10)=0
\end{equation}
i.e. $\lambda_{1}=0$ and$\lambda_{2}=10$.
Gli autospazi relativi ai due autovalori sono $E(\lambda_{1})=\mathcal{L}(-\frac{1}{2},1)$ e $E(\lambda_{2})=\mathcal{L}(2,1)$. Le basi di detti spazi sono evidentemente ortogonali (visto che i due autospazi sono monodimensionali, e dunque hanno base composta da un solo vettore). Il primo dei due vettori, $v=(-\frac{1}{2},1)$ può essere normalizzato dividendolo per il suo modulo $\frac{\sqrt{5}}{2}$ mentre il secondo, $w=(2,1)$, dividendo per $\sqrt{5}$. Allora, la matrice di rotazione $R$ è:
\begin{equation}
\tilde{R}=\begin{pmatrix} -\frac{1}{2}&2\\1&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{5}}\\\frac{1}{\sqrt{5}} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\\\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}
\end{equation}
Quest'ultima ha determinante $-1$ mentre ai fini del procedimento deve avere $det(R)=1$, ragion per cui cambio il segno (questa è la parte che mi è meno chiara, a dire il vero, del procedimento):
\begin{equation}
R=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\\-\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{1}{\sqrt{5}}\end{pmatrix}
\end{equation}
Segue che:
\begin{equation}
\begin{cases} x=\frac{1}{\sqrt{5}}(\tilde{x}+2\tilde{y})\\y=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2\tilde{x}+\tilde{y})\end{cases}
\end{equation}
Sostituendo quanto trovato nell'equazione della conica e svolgendo i conti, ottengo:
\begin{equation}
\Gamma(\tilde{x},\tilde{y}):10\tilde{y}^2+2\sqrt{5}\tilde{x}-\sqrt{5}\tilde{y}=0
\end{equation}
A questo punto dovrei concludere con la traslazione, effettuata algebricamente con un completamento dei quadrati, ma non mi convince il fatto che ottengo un termine in $x$ ma non in $x^2$.
Spero di non aver scritto troppe dabbenaggini!
Risposte
Per il tuo dubbio: è corretto che ti venga $x$ perché la forma canonica della parabola è del tipo $x= ay^2$ (o $y=bx^2$). Perciò il metodo del completamento dei quadrati devi applicarlo solo alla $y$. Per la $x$ serve soltanto una traslazione che tolga di mezzo il termine noto 
Il resto l'ho controllato un po' velocemente
però mi sembra tutto corretto!
Il resto l'ho controllato un po' velocemente
però mi sembra tutto corretto!
Ok, grazie mille, allora continuo con lo svolgimento!!
E di che
Provo ad aggiungere di seguito i conti per completare l'esercizio.
Considero il termine $10\tilde{y}^2-\sqrt{5}\tilde{y}$. Divido per comodità per 10:
\begin{equation}
10\tilde{y}^2-\sqrt{5}\tilde{y}=10 \left(\tilde{y}^2-\frac{\sqrt{5}}{10}\tilde{y}\right)=10 \left( \tilde{y}^2-\frac{1}{2\sqrt{5}}\tilde{y} \right)
\end{equation}
Una volta osservato che $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ è il pari al doppio di $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ e precisato che $( \frac{1}{4 \sqrt{5}} )^{2}=\frac{1}{80}$, posso completare il quadrato ottenendo:
\begin{equation}
10 \left( \tilde{y}-\frac{1}{4\sqrt{5}} \right) ^2 + \frac{1}{8}
\end{equation}
Effettuando una traslazione rispetto all'asse delle ordinate, definendo $Y$ come:
\begin{equation}
Y=\tilde{y}-\frac{1}{4\sqrt{5}} \Leftrightarrow \tilde{y}=Y+\frac{1}{4\sqrt{5}}
\end{equation}
sostituendo e svolgendo i calcoli ottengo $\Gamma(\tilde{x},Y):10 Y^2-\frac{1}{8}+2\sqrt{5}\tilde{x}=0$. Posso poi "pulire" l'espressione dividendo ambo i membri per $2\sqrt{5}$, cosicché,
\begin{equation}
\Gamma(\tilde{x},Y): \sqrt{5}Y^2+\tilde{x}-\frac{1}{16\sqrt{5}}=0
\end{equation}
Si può allora concludere effettuando anche la traslazione rispetto alle ascisse, ponendo:
\begin{equation}
X=\tilde{x}-\frac{1}{16\sqrt{5}} \Leftrightarrow \tilde{x}=X+\frac{1}{16\sqrt{5}}
\end{equation}
per cui:
\begin{equation}
\Gamma(X,Y): X=-\sqrt{5}Y^2
\end{equation}
Considero il termine $10\tilde{y}^2-\sqrt{5}\tilde{y}$. Divido per comodità per 10:
\begin{equation}
10\tilde{y}^2-\sqrt{5}\tilde{y}=10 \left(\tilde{y}^2-\frac{\sqrt{5}}{10}\tilde{y}\right)=10 \left( \tilde{y}^2-\frac{1}{2\sqrt{5}}\tilde{y} \right)
\end{equation}
Una volta osservato che $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ è il pari al doppio di $\frac{1}{2\sqrt{5}}$ e precisato che $( \frac{1}{4 \sqrt{5}} )^{2}=\frac{1}{80}$, posso completare il quadrato ottenendo:
\begin{equation}
10 \left( \tilde{y}-\frac{1}{4\sqrt{5}} \right) ^2 + \frac{1}{8}
\end{equation}
Effettuando una traslazione rispetto all'asse delle ordinate, definendo $Y$ come:
\begin{equation}
Y=\tilde{y}-\frac{1}{4\sqrt{5}} \Leftrightarrow \tilde{y}=Y+\frac{1}{4\sqrt{5}}
\end{equation}
sostituendo e svolgendo i calcoli ottengo $\Gamma(\tilde{x},Y):10 Y^2-\frac{1}{8}+2\sqrt{5}\tilde{x}=0$. Posso poi "pulire" l'espressione dividendo ambo i membri per $2\sqrt{5}$, cosicché,
\begin{equation}
\Gamma(\tilde{x},Y): \sqrt{5}Y^2+\tilde{x}-\frac{1}{16\sqrt{5}}=0
\end{equation}
Si può allora concludere effettuando anche la traslazione rispetto alle ascisse, ponendo:
\begin{equation}
X=\tilde{x}-\frac{1}{16\sqrt{5}} \Leftrightarrow \tilde{x}=X+\frac{1}{16\sqrt{5}}
\end{equation}
per cui:
\begin{equation}
\Gamma(X,Y): X=-\sqrt{5}Y^2
\end{equation}
Il procedimento è giusto, però perdonami se non mi metto a controllare tutti i conti 
Soltanto alla fine, manca un pezzo: devi effettuare una traslazione in $x$ per togliere il termine noto. In effetti, la forma canonica della parabola è $x= ay^2$ e non $x = ay^2 + c$. Insomma, si riporta il vertice sull'origine, come si fa per il centro di simmetria per ellisse e iperbole
Soltanto alla fine, manca un pezzo: devi effettuare una traslazione in $x$ per togliere il termine noto. In effetti, la forma canonica della parabola è $x= ay^2$ e non $x = ay^2 + c$. Insomma, si riporta il vertice sull'origine, come si fa per il centro di simmetria per ellisse e iperbole
Ops, mi son perso sul più bello, mi capita un po' troppo spesso 
Edito il mio messaggio predente allora!
Grazie infinite Antimius!
Edito il mio messaggio predente allora!
Grazie infinite Antimius!
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