Rotore: operatore autoaggiunto?

[mirko6768]

Buongiorno!
Qualcuno è in grado di dimostrare che l'operatore rotore è autoaggiunto (se lo è )?
Dopo aver impostato la relazione $ int_(-oo )^(+oo) fprime (x)*rot (g (x))dx $ dove f' è il coniugato, applico la relazione $ grad (A×B)=B*rotA-A*rotB $ ma oltre all' "operatore autoaggiunto" trovo un integrale sulla divergenza di un cross product e, onestamente, non so dove partire con quello.

Grazie ragazzi!

[Aster89]

[Nota i grassetti che indicano i vettori.] Quel simbolo $\mathbf{\nabla}$ indica un operatore che in forma vettoriale si può scrivere come $\sum_i \hat{\mathbf{v}}_i\frac{\partial}{\partial x_i}$, dove $\hat{\mathbf{v}}_i$ indica il versore della direzione $i$-esima. Se tratti tale simbolo come fosse un vettore e tieni in conto la possibilità che i versori possano variare ciascuno lungo la direzione degli altri (come accade in coordinate polari, cilindriche e sferiche), allora la divergenza del campo $\mathbf{w}$ si ottiene facendo il prodotto scalare di $\mathbf{\nabla}$ per tale campo, per cui l'operatore divergenza si può indicare con $\mathbf{\nabla} \cdot$.

A tal proposito l'operatore rotore si può indicare con $\mathbf{\nabla} \times$, in quanto il rotore si ottiene facendo il prodotto vettoriale tra $\mathbf{\nabla}$ e $\mathbf{w}$. Inoltre, per prendere dimestichezza con questa sintetica scrittura, è un buon esercizio ricavare l'operatore laplaciano, $\nabla^2$ (nota che manca il grassetto, non è un vettore), come prodotto scalare di $\mathbf{\nabla}$ per se stesso, ossia come divergenza del gradiente (la definizione intrinseca di laplaciano è proprio quella di divergenza del gradiente).

Dai un occhiata anche qui, nel caso, https://it.wikipedia.org/wiki/Nabla_in_coordinate_cilindriche_e_sferiche.

Per venire finalmente alla tua domanda, forse ti serve il teorema della divergenza (https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_della_divergenza)...