Matrice associata
Da qualche giorno sto tentando di risolvere questo esercizio sulle matrici associate ad applicazioni lineari, ma non ci riesco. La domanda è:
Determina la matrice A(z) associata ad F(z) nella base standard in arrivo e in partenza con $F(z) : R^3 ---> R^3$
$((1),(-1),(1))$=$((z^2+1),(-3/2 z^2+5/4),(-3/2z^2-2))$
$((2),(0),(1))$=$((2 z^2),(1/2 - z^2/2),(z^2))$
$((0),(2),(-2))$=$((4),(z^2-2),(-z^2-4))$
Stabilisci poi per quali valori del parametro z reale la matrice A(z) è diagonalizzabile.
Grazie,
Determina la matrice A(z) associata ad F(z) nella base standard in arrivo e in partenza con $F(z) : R^3 ---> R^3$
$((1),(-1),(1))$=$((z^2+1),(-3/2 z^2+5/4),(-3/2z^2-2))$
$((2),(0),(1))$=$((2 z^2),(1/2 - z^2/2),(z^2))$
$((0),(2),(-2))$=$((4),(z^2-2),(-z^2-4))$
Stabilisci poi per quali valori del parametro z reale la matrice A(z) è diagonalizzabile.
Grazie,
Risposte
scusami ma non capisco assolutamente niente di quello che hai scritto! 
prova ad usare le formule leggendo questo oppure utilizzando il tool preimpostato sotto il messaggio di risposta.
prova ad usare le formule leggendo questo oppure utilizzando il tool preimpostato sotto il messaggio di risposta.
Ho modificato il testo. Ora dovrebbe essere chiaro. Mi ero dimenticato il segno del dollaro!
in quello che hai scritto nel primo messaggio manca la F della funzione davanti ai vettori preimmagine. ad ogni modo....
per determinare la matrice rappresentativa rispetto alla base canonica di $RR^3$ dobbiamo trovare le immagini dei tre vettori che la compongono, ovvero ci serve: $F(e_i)$ con $i=1,2,3$. queste infatti corrispondono alle colonne della matrice associata.
per calcolare le immagini dobbiamo esprimere i vettori della base canonica come combinazioni lineari dei vettori preimmagine che abbiamo. una volta che abbiamo questi, applichiamo la funzione e sfruttiamo la sua linearità.
per farlo è necessario risolvere i tre sistemi $a(1,-1,1)+b(2,0,1)+c(0,2,-2)=e_i$ con $i=1,2,3$.
$ ( ( 1 , 2 , 0 , | , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 2 , | , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , -2 , | , 0 , 0 , 1 ) ) $
riducendo con Guass perveniamo ai seguenti tre sistemi equivalenti a quello di partenza:
le cui soluzioni sono rispettivamente
$ { ( a=1 ),( b=0 ),( z=1/2 ):} ; { ( a=-2 ),( b=1 ),( z=-1/2 ):} ; { ( a=-2 ),( b=1 ),( z=-1 ):} $
a questo punto, ti faccio vedere per esempio col primo vettore come si fa, abbiamo:
$ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) =( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) )+1/2( ( 0 ),( 2 ),( -2 ) ) $
applico ora F + linearità e quindi posso scrivere:
$ F( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) =F( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) )+1/2F( ( 0 ),( 2 ),( -2 ) )=calcoli=( ( z^2+3 ),( 1/4-z^2 ),( -2z^2-4 ) ) $ con $z in RR$
fai così per anche gli altri e poi metti i vettori che hai trovato a formare le colonne della matrice rappresentativa.
per la diagonalizzazione procedi come il solito una volta che hai la mat rappresentativa (polinomio caratteristico, austospazi)
per determinare la matrice rappresentativa rispetto alla base canonica di $RR^3$ dobbiamo trovare le immagini dei tre vettori che la compongono, ovvero ci serve: $F(e_i)$ con $i=1,2,3$. queste infatti corrispondono alle colonne della matrice associata.
per calcolare le immagini dobbiamo esprimere i vettori della base canonica come combinazioni lineari dei vettori preimmagine che abbiamo. una volta che abbiamo questi, applichiamo la funzione e sfruttiamo la sua linearità.
per farlo è necessario risolvere i tre sistemi $a(1,-1,1)+b(2,0,1)+c(0,2,-2)=e_i$ con $i=1,2,3$.
$ ( ( 1 , 2 , 0 , | , 1 , 0 , 0 ),( -1 , 0 , 2 , | , 0 , 1 , 0 ),( 1 , 1 , -2 , | , 0 , 0 , 1 ) ) $
riducendo con Guass perveniamo ai seguenti tre sistemi equivalenti a quello di partenza:
$ { ( a+2b=1 ),( 2b+2c=1 ),( z=1/2 ):} ; { ( a+2b=0 ),( 2b+2c=1 ),( z=-1/2 ):} ; { ( a+2b=0 ),( 2b+2c=0 ),( z=-1 ):} $
le cui soluzioni sono rispettivamente
$ { ( a=1 ),( b=0 ),( z=1/2 ):} ; { ( a=-2 ),( b=1 ),( z=-1/2 ):} ; { ( a=-2 ),( b=1 ),( z=-1 ):} $
a questo punto, ti faccio vedere per esempio col primo vettore come si fa, abbiamo:
$ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) =( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) )+1/2( ( 0 ),( 2 ),( -2 ) ) $
applico ora F + linearità e quindi posso scrivere:
$ F( ( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) =F( ( 1 ),( -1 ),( 1 ) )+1/2F( ( 0 ),( 2 ),( -2 ) )=calcoli=( ( z^2+3 ),( 1/4-z^2 ),( -2z^2-4 ) ) $ con $z in RR$
fai così per anche gli altri e poi metti i vettori che hai trovato a formare le colonne della matrice rappresentativa.
per la diagonalizzazione procedi come il solito una volta che hai la mat rappresentativa (polinomio caratteristico, austospazi)
Grazie! Ho compreso ora...
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