Determinare interno e chiusura

[feddy]

Ciao a tutti,

ho iniziato a studiare topologia generale e un primo esercizio è questo:

$X=RR$, $\tau={A \subset X: \forall x \in A EE [x,y) \in A}$.

Determinare interno e chiusura di:
(i) $(a,b)$
(ii) $[a,b]$
(iii) $[a,b)$
(iv) $(a,b]$

Da quello che ho notato iniziando devo cercare di capire come sono fatti gli aperti e questi mi sembrano intervalli dove è escluso l'estremo destro $y$, che mi sembra sia quindi fissato.
Pertanto i chiusi sono insiemi del tipo $(-\infty,x] uu [y,+infty)$.

(i)
Interno: $( a,b)$ , che dovrebbe essere un aperto, ma non capisco come ottenerlo. Forse come $ uu_n ^infty [a+1/n,b) $ ?


Chiusura: $[a,b)$, anche qui non mi è chiaro come possa risultare un chiuso nella mia topologia.

(ii)
Interno: $[a,b)$, che è aperto per definizione di $\tau$.
Chiusura: $[a,b]$, che è ottenuto come $[a,+\infty) \cap [b,+\infty]$, e poiché è intersezione finita di chiusi è un chiuso.

(iii)
Interno:$[a,b)$
Chiusura: $[a,b)$

(iv)
Interno: $(a,b)$
Chiusura:$[a,b]$

Grazie a chiunque mi darà una mano

[otta96]

"feddy":Ciao a tutti,

ho iniziato a studiare topologia generale e un primo esercizio è questo:

$X=RR$, $\tau={A \subset X: \forall x \in A EE [x,y) \in A}$.

Determinare interno e chiusura di:
(i) $(a,b)$
(ii) $[a,b]$
(iii) $[a,b)$
(iv) $(a,b]$

Da quello che ho notato iniziando devo cercare di capire come sono fatti gli aperti e questi mi sembrano intervalli dove è escluso l'estremo destro $y$, che mi sembra sia quindi fissato.
Pertanto i chiusi sono insiemi del tipo $(-\infty,x] uu [y,+infty)$.

(i)
Interno: $( a,b)$ , che dovrebbe essere un aperto, ma non capisco come ottenerlo. Forse come $ uu_n ^infty [a+1/n,b) $ ?


Chiusura: $[a,b)$, anche qui non mi è chiaro come possa risultare un chiuso nella mia topologia.

(ii)
Interno: $[a,b)$, che è aperto per definizione di $\tau$.
Chiusura: $[a,b]$, che è ottenuto come $[a,+\infty) \cap [b,+\infty]$, e poiché è intersezione finita di chiusi è un chiuso.

(iii)
Interno:$[a,b)$
Chiusura: $[a,b)$

(iv)
Interno: $(a,b)$
Chiusura:$[a,b]$

Grazie a chiunque mi darà una mano

Ciao anche a te, in genere non conviene cercare di capire come sono fatti gli aperti, perché può essere molto complicato, si preferisce seguire la definizione o trovare una base (o una prebase) per la topologia e ragionare in quei termini.
In questo caso infatti gli aperti non sono necessariamente intervalli (come hai affermato tu), comunque si può notare che da questa definizione di aperto si deduce subito che ${[a,b)|a,b\inRR,a Adesso notiamo che gli insiemi del tipo $(a,b)$ sono aperti perché $(a,b)=uuu_{x\in(a,b)} [x,b)$; a questo punto, interno di (i) e (iii) sono banali, mentre per (ii) e (iv) se ci togli $b$ ti rimane un insieme aperto, quindi se dimostriamo che non sono già di per sé aperti, si conclude che la parte interna è proprio l'insieme privato di $b$, ma evidentemente non sono aperti perché la definizione fallisce per $x=b$.
Per determinare le chiusure basta notare che $[a,b)$ e $[a,b]$ sono chiusi, quindi ragionando analogamente a prima stavolta però sui complementari si ha che le chiusure di (ii) e (iii) sono sé stessi, mentre per ottenere quelle di (i) e (iv) basta aggiungerci $a$, infatti così come sono, non sono chiusi perché il complementare non soddisfa la definizione di aperto per $x=a$.

[otta96]

"feddy":(i)
Interno: $( a,b)$ , che dovrebbe essere un aperto, ma non capisco come ottenerlo. Forse come $ uu_n ^infty [a+1/n,b) $?
Chiusura: $[a,b)$, anche qui non mi è chiaro come possa risultare un chiuso nella mia topologia.

(ii)
Interno: $[a,b)$, che è aperto per definizione di $\tau$.
Chiusura: $[a,b]$, che è ottenuto come $[a,+\infty) \cap [b,+\infty]$, e poiché è intersezione finita di chiusi è un chiuso.

Mi sono accorto che non ti ho spiegato bene perché $[a,b)$ e $[a,b]$ sono chiusi, soprattutto considerando che avevi dei dubbi, però basta sempre usare le definizioni $[a,b)^c=(-\infty,a)\cup[b,+\infty)$, ora si ha che $(-\infty,a)=uuu_{x\in(-infty,a)} [x,a)$ e $[b,+\infty)=uuu_{x\in[b,+\infty)} [b,x)$, quindi $[a,b)^c$ è aperto quindi $[a,b)$ è chiuso.
Per $[a,b]$ il discorso è esattamente analogo, però ti faccio notare che quello che hai scritto tu è sbagliato, mi riferisco a:

"feddy":$[a,b]$, che è ottenuto come $[a,+\infty) \cap [b,+\infty]$

sarebbe stato giusto se avessi scritto $[a,b]$ è ottenuto come $(-\infty,b] \cap [a,+\infty)$.

[feddy]

Ora mi è tutto chiaro. Per l'ultima riga che hai scritto avevo evidentemente bisogno di dormire ! Grazie

[otta96]

Ho visto ora a che ora avevi scritto il primo messaggio, e sono decisamente d'accordo!!!