Geometria

[pistoleo]

ciao ha tutti vorrei avere un chiarimento
allora se ho due spazi vettoriali della stessa dimensione ed ho un endomorfismo se so che l'applicazione è iniettiva allora essendo i due spazi della stessa dimensione è anche suriettiva e quindi l'endomorfismo e biunivoco?

[cooper1]

esatto. un endomorfismo è iniettivo se e solo se è suriettivo. deriva dal teorema delle dimensioni.
se per esempio è iniettivo allora $dim (ker f)=0$ e allora $dimV = dim(Im f)$ e dunque $f$ è anche suriettivo, analogamente se è suriettivo.

[killing_buddha]

Sì: dal primo teorema di isomorfismo sai che l'immagine di $f : V \to V$ deve essere un sottospazio di $V$ isomorfo a \(V/\ker f\), del resto quest'ultimo è $V$ stesso perché $f$ è iniettiva, sicché $f$ ha rango massimo.

[pistoleo]

senza che apro un altro post
se ho sempre un endomorfismo e so che l'applicazione è invettiva mi spiegate perché se prendo una base di V e una di W la matrice associata all'applicazione è la matrice identica?
questo è un quesito di un'esame ma non capisco il perché questa affermazione è corretta grazie

[cooper1]

"simo2194":se prendo una base di V e una di W

un endomorfismo è definito su V ed è ancora a valori in V, quindi non capisco da dove esca W.
mi sembra che però non capisca lo stesso la richiesta. non mi sembra proprio che un qualunque endomorfismo iniettivo abbia matrice rappresentativa la matrice identità.
che ne so prendi per esempio l'applicazione $f: RR^3 -> RR^3$ tale che $f(x,y,z)=(3x, x+y, y-z)$. questa ha matrice rappresentativa pari a:
$ ( ( 3 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , -1 ) ) != I$ ma è iniettiva perchè ha nucleo banale.