Dire se i seguenti insiemi sono chiusi o aperti

[feddy]

Ho il seguente esercizio, e mi trovo ancora in difficoltà con le caratterizzazioni di chiusi e aperti.

Esercizio

Considerando l'insieme $X=RR^2$ con la topologia generata dalla base $\mathbb{B}={(x_0-\epsilon,x_0] xx (y_0-\epsilon, y_0], \epsilon >0}$ che chiamo $\tau(\mathbb{B})$.

Dire per ciascuno dei seguenti insiemi se sono aperti, chiusi e determinarne chiusura e interno.

$A_1={[0,1]xxR}$
$A_2={(x,y) \in RR^2: x^2+y^2<1}$

Sol.:

1)

In pratica lo spazio topologico è generato dai quadrati che hanno il lato superiore e quello destro inclusi mentre gli altri due non sono "inclusi".

$A_1$ è una striscia infinita che però contiene anche ${0} xx RR$, e non è possibile ottenerlo come unione o intersezione di aperti... quindi controllo se il complementare sia un aperto.

$C_X(A_1)=(-\infty,0) xx RR uu (1,+\infty) xx RR$.

$(-\infty,0)= uu_(x \in (-\infty,0)) (x-\epsilon,x]$ e $(1,+\infty)= uu_(x \in (1,+\infty)) (1,x]$

Per cui $C_X(A_1)$ è un aperto perché unione di aperti e pertanto $A_1$ è chiuso.

Interno di $A_1$: $(0,1] xx RR$
Chiusura di $A_1$: $ A_1$


2)

Innanzitutto verifico che $\forall x in A_2 EE B \in \mathbb{B}: x \in B \subset A_2$, perciò $A \in \tau(\mathbb{B})$ e quindi l'insieme è un aperto.

Per la chiusura e l'interno invece non saprei da dove cominciare... qualche consiglio?


Inoltre avrei un'altra domanda: se un insieme è chiuso, allora la sue chusura coincide con sè stesso? Intuitivamente direi di sì, ma formalmente non saprei come mostrarlo.

Grazie per l'attenzione

[dan952]

Non si capisce riscrivi...

Per quanto riguarda l'ultima domanda:
Sia $C$ un chiuso e $\bar(C)$ la sua chiusura, chiaramente $C \sube \bar(C)$, rimane da dimostrare che $\bar(C) \sube C$, per definizione $\bar(C)={nn A\ |\ A\ \text{chiuso\ contenente}\ C}$ tuttavia $nn A \sube C$ poiché $C$ è chiuso da cui la tesi

[feddy]

Perfetto, mi è chiaro ! ho sistemato la domanda