Conica passante per tre punti e tangente a una retta
Salve, mi servirebbe aiuto con questo esercizio:
"Determinare l'equazione della conica tangente alla retta x-y-1=0 in (2,1) e passante per i punti P1(-1,0), P2(0,3) e P3(0,-3)".
Grazie in anticipo!
"Determinare l'equazione della conica tangente alla retta x-y-1=0 in (2,1) e passante per i punti P1(-1,0), P2(0,3) e P3(0,-3)".
Grazie in anticipo!
Risposte
Si tratta di un esercizio standard che si svolge col metodo del fascio di coniche (degeneri) come segue.
Hai 5 punti disponibili che sono:
$P_2(0,3), P_3(0,-3),P_4(2,1),P_5(2,1), P_1(-1,0)$
Con i primi 4 puoi costruire due coniche degeneri:
la prima che si spezza nelle rette $P_2P_3, P_4P_5$ e la seconda che si spezza nelle rette $P_2P_4,P_3P_5$
Facendo i relativi calcoli si trova che il fascio di coniche aventi per punti base i 4 punti di cui prima è:
(A) $\lambdax(x-y-1)+\mu(x+y-3)(2x-y-3)=0$
Imponendo il passaggio per $P_1(-1,0) $ si trova l'equazione $\lambda+10\mu=0$
che si può soddisfare scegliendo $\lambda=10,\mu=-1$ [o altre soluzioni equivalenti].
Sostuendo questi valori nella (A) , con qualche facile calcolo , si trova l'equazione della conica richiesta:
$8x^2-11xy+y^2-x-9=0$
Hai 5 punti disponibili che sono:
$P_2(0,3), P_3(0,-3),P_4(2,1),P_5(2,1), P_1(-1,0)$
Con i primi 4 puoi costruire due coniche degeneri:
la prima che si spezza nelle rette $P_2P_3, P_4P_5$ e la seconda che si spezza nelle rette $P_2P_4,P_3P_5$
Facendo i relativi calcoli si trova che il fascio di coniche aventi per punti base i 4 punti di cui prima è:
(A) $\lambdax(x-y-1)+\mu(x+y-3)(2x-y-3)=0$
Imponendo il passaggio per $P_1(-1,0) $ si trova l'equazione $\lambda+10\mu=0$
che si può soddisfare scegliendo $\lambda=10,\mu=-1$ [o altre soluzioni equivalenti].
Sostuendo questi valori nella (A) , con qualche facile calcolo , si trova l'equazione della conica richiesta:
$8x^2-11xy+y^2-x-9=0$
Ti ringrazio tantissimo, quest'argomento nel libro non c'era quindi facevo molta fatica. Grazie alla tua risposta ed un paio di ricerche online, ho capito benissimo.
In realtà avevo provato a considerare 4 punti come condizione e poi l'annullamento del discriminante nel sistema con la tangente come quinta condizione, ma i calcoli venivano lunghissimi. Sarebbe comunque andato bene?
Se non ti dispiace, avrei solo un paio di domande: Come mai nella formula del fascio (A) c'è λx e non solo λ?
Inoltre, abbiamo scelto di considerare il fascio per P2,P3,P4 e P5 per comodità, ma avremmo anche potuto individuarlo con P1,P2,P3,P4 e poi imporre il passaggio per P5, giusto? Solo che in questo caso avremmo potuto avere tre possibili coniche degeneri invece che due. Dico bene?
Grazie ancora per l'aiuto!
In realtà avevo provato a considerare 4 punti come condizione e poi l'annullamento del discriminante nel sistema con la tangente come quinta condizione, ma i calcoli venivano lunghissimi. Sarebbe comunque andato bene?
Se non ti dispiace, avrei solo un paio di domande: Come mai nella formula del fascio (A) c'è λx e non solo λ?
Inoltre, abbiamo scelto di considerare il fascio per P2,P3,P4 e P5 per comodità, ma avremmo anche potuto individuarlo con P1,P2,P3,P4 e poi imporre il passaggio per P5, giusto? Solo che in questo caso avremmo potuto avere tre possibili coniche degeneri invece che due. Dico bene?
Grazie ancora per l'aiuto!
La retta $P_2P_3$ ha equazione $x=0$ mentre la retta $P_4P_5$ è in effetti la tangente $x-y-1=0$
Di conseguenza la conica ( degenere ) che si spezza in queste due rette diventa $x(x-y-1)=0$.
Analogamente per l'altra conica , sempre degenere, che si spezza nelle rette $P_2P_4$ e $P_3P_5$.
La scelta dei 4 punti base. tra i 5 assegnati, é del tutto arbitraria e di solito risponde solo ad una
ragione di comodità di calcolo. In ogni caso due coniche (degeneri) bastano per formare il fascio di coniche.
Di conseguenza la conica ( degenere ) che si spezza in queste due rette diventa $x(x-y-1)=0$.
Analogamente per l'altra conica , sempre degenere, che si spezza nelle rette $P_2P_4$ e $P_3P_5$.
La scelta dei 4 punti base. tra i 5 assegnati, é del tutto arbitraria e di solito risponde solo ad una
ragione di comodità di calcolo. In ogni caso due coniche (degeneri) bastano per formare il fascio di coniche.
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