Ipercomplessi e Vettori infinito-dimensionali
Premetto che non so se sia o meno la sezione giusta,mi dispiace se ho sbagliato.
Salve,ultimamente,stavo cercando di generalizzare un tipo particolare di numeri,a un insiemi infinito-dimensionale.Mentre ci provavo però mi sono imbattuto in qualche difficoltà.Se non vi dispiace,potreste aiutarmi,il concetto che volevo generalizzare era quello di numero iper-complesso.
Quindi sono partito da questa formula(che vale nel caso tetradimensionale)
\( q=a+bi+cj+dk=a+v=||q||e^{\frac{v}{||v|}\theta} \)
ora generalizzo l'idea vedendo $v$ come un vettore infinito dimensionale la cui norma dovrebbe essere,la radice quadrata di:
\(=\int vv^{*}+\int\nabla v\cdot \nabla v=||v||_2^2+||\nabla v||^2 \ \)
Ora mi chiedevo usando queste nozioni è possibile e ragionevole estendere tale insieme?
Salve,ultimamente,stavo cercando di generalizzare un tipo particolare di numeri,a un insiemi infinito-dimensionale.Mentre ci provavo però mi sono imbattuto in qualche difficoltà.Se non vi dispiace,potreste aiutarmi,il concetto che volevo generalizzare era quello di numero iper-complesso.
Quindi sono partito da questa formula(che vale nel caso tetradimensionale)
\( q=a+bi+cj+dk=a+v=||q||e^{\frac{v}{||v|}\theta} \)
ora generalizzo l'idea vedendo $v$ come un vettore infinito dimensionale la cui norma dovrebbe essere,la radice quadrata di:
\(
Ora mi chiedevo usando queste nozioni è possibile e ragionevole estendere tale insieme?
Risposte
Solitamente per fare questo tipo di generalizzazioni serve mettere sullo spazio una forma bilineare (che è quello che il tuo integrale sta facendo) e poi limitarsi a considerare quei vettori di norma finita.
Forse aiuterebbe un po' più di contesto per le motivazioni di questo problema? O un libro di analisi funzionale in mano?
Forse aiuterebbe un po' più di contesto per le motivazioni di questo problema? O un libro di analisi funzionale in mano?
Grazie per la risposta,
In che senso?
Penso di sì
"killing_buddha":
Solitamente per fare questo tipo di generalizzazioni serve mettere sullo spazio una forma bilineare (che è quello che il tuo integrale sta facendo) e poi limitarsi a considerare quei vettori di norma finita.
In che senso?
"killing_buddha":
Forse aiuterebbe un po' più di contesto per le motivazioni di questo problema? O un libro di analisi funzionale in mano?
Penso di sì
In che senso?
Nel senso che devi impedire che l'integrale \(\int v\cdot v\) sia divergente (rispetto a che misura, poi?), e l'unico modo di farlo è considerare solo i vettori per cui non lo è: la fortuna è che questi vettori sono un sottospazio dello spazio ambiente, quindi tu ti limiti a quello. Gli spazi \(L^p, \ell^p\) eccetera, sono tutti definiti in questo modo.
Ignoro cosa intendi con "ipercomplesso": stai lavorando con l'algebra \(\mathbb H\) dei quaternioni? Il passaggio \(\mathbb{H}\mapsto ???\) dove ??? è lo spazio vettoriale che vuoi considerare tu, si può fare in diversi modi. Nessuno di questi, o almeno non in un modo evidente, mi sembra dipendere dal fatto che sei partito da \(\mathbb{H}\).
Grazie.
Io conobbi il concetto di numeri ipercomplessi su questo sito:https://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomplex_number
che includono quaternioni(dove c'è una parte reale e poi le tre immaginarie $i,j,k$),gli ottetioni(dove c'è sempre una parte reale e 7 immaginarie)e così via.(Ho provato a leggere qualche libro per approfondire le mie conoscenze in questo campo ma mi è risultato molto difficile)
Comunque quello che volevo fare era:
poichè i numeri complessi sono composti da una parte immaginaria e una reale,i quaternioni 1 reale e 3 immaginarie,e così dicendo,mi domandavo se prendessi dei numeri con 1 parte reale e infinite immaginarie.Il problema è che non so come fare questo passaggio
Io conobbi il concetto di numeri ipercomplessi su questo sito:https://en.wikipedia.org/wiki/Hypercomplex_number
che includono quaternioni(dove c'è una parte reale e poi le tre immaginarie $i,j,k$),gli ottetioni(dove c'è sempre una parte reale e 7 immaginarie)e così via.(Ho provato a leggere qualche libro per approfondire le mie conoscenze in questo campo ma mi è risultato molto difficile)
Comunque quello che volevo fare era:
poichè i numeri complessi sono composti da una parte immaginaria e una reale,i quaternioni 1 reale e 3 immaginarie,e così dicendo,mi domandavo se prendessi dei numeri con 1 parte reale e infinite immaginarie.Il problema è che non so come fare questo passaggio
Quello che stai sottintendendo è che lo spazio vettoriale in cui lavori sia un'algebra sui numeri reali: e nella costruzione dei quaternioni di Hamilton non è banale trovare le relazioni di anticommutazione che rendono \(\mathbb H\) un'algebra (devi abbandonare la proprietà commutativa). Quando costruisci \(\mathbb O\) ("ottonioni", non ottetioni ) allo stesso modo devi abbandonare la proprietà associativa e ottieni quella tavola molto complicata che certamente avrai visto. Procedi ancora, e otterrai quelli che si chiamano "sedenioni".
Il fatto è che a questo punto ti devi fermare: c'è un teorema piuttosto profondo che dice che le seguenti condizioni sono equivalenti:
1. Esiste una fibrazione $S^{2n-1}\to S^n$ con invariante di Hopf 1, le cui fibre sono sfere.
2. Esiste una struttura di \(\mathbb R\)-algebra con divisione su \(\mathbb R^n\).
3. $S^{n-1}$ ha una struttura di $H$-gruppo.
L'invariante di Hopf di una mappa $f : S^{2n-1}\to S^n$ è quanto segue: prendi la mappa e considera il pushout
$$
\begin{CD}
S^{2n-1} @>f>> S^n \\
@VVV @VVV\\
D^n @>>> S^n \cup_f D^n
\end{CD}
$$
chiamiamo $X=S^n \cup_f D^n$ per brevità; allora è facile vedere che la coomologia singolare di $X$ è nonzero esattamente nei gradi $0,n,2n$, dove è \(\mathbb Z\) (chiamiamo \(\mathbb Z = \langle a_i\rangle\) i generatori di $H^i(X)$ rispettivamente, nei gradi $0,n,2n$).
Il cup product a questo punto induce un omomorfismo di algebre \(\smile : H^n(X)\otimes H^n(X)\to H^{2n}(X)\) che manda il generatore $a_n$ di $H^n(X)$ in \(a_n\smile a_n= a_n^2\), il quale deve essere uguale a $\kappa(f)a_{2n}$ per un certo intero $\kappa(f)$ che dipende solo dalla classe di omotopia di $f$; questo intero si chiama invariante di Hopf di $f$.
) allo stesso modo devi abbandonare la proprietà associativa e ottieni quella tavola molto complicata che certamente avrai visto. Procedi ancora, e otterrai quelli che si chiamano "sedenioni".Il fatto è che a questo punto ti devi fermare: c'è un teorema piuttosto profondo che dice che le seguenti condizioni sono equivalenti:
1. Esiste una fibrazione $S^{2n-1}\to S^n$ con invariante di Hopf 1, le cui fibre sono sfere.
2. Esiste una struttura di \(\mathbb R\)-algebra con divisione su \(\mathbb R^n\).
3. $S^{n-1}$ ha una struttura di $H$-gruppo.
L'invariante di Hopf di una mappa $f : S^{2n-1}\to S^n$ è quanto segue: prendi la mappa e considera il pushout
$$
\begin{CD}
S^{2n-1} @>f>> S^n \\
@VVV @VVV\\
D^n @>>> S^n \cup_f D^n
\end{CD}
$$
chiamiamo $X=S^n \cup_f D^n$ per brevità; allora è facile vedere che la coomologia singolare di $X$ è nonzero esattamente nei gradi $0,n,2n$, dove è \(\mathbb Z\) (chiamiamo \(\mathbb Z = \langle a_i\rangle\) i generatori di $H^i(X)$ rispettivamente, nei gradi $0,n,2n$).
Il cup product a questo punto induce un omomorfismo di algebre \(\smile : H^n(X)\otimes H^n(X)\to H^{2n}(X)\) che manda il generatore $a_n$ di $H^n(X)$ in \(a_n\smile a_n= a_n^2\), il quale deve essere uguale a $\kappa(f)a_{2n}$ per un certo intero $\kappa(f)$ che dipende solo dalla classe di omotopia di $f$; questo intero si chiama invariante di Hopf di $f$.
Grazie nuovamente per la risposta,quindi se ho capito bene a causa di questo teorema è impossibile fare questa generalizzazione?
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