Un aiuto sul capire una dimostrazioncina spazi vettoriali
Mi servirebbe il vostro lodevole aiuto perché mi sono fermato su un punto di una dimostrazione.
Si voleva in sostanza dimostrare che: "L’applicazione lineare $f : V -> W$ tra due spazi vettoriali V e W è
iniettiva se e solo se l’immagine di ogni insieme libero di V è un insieme libero di W"
Ho capito come dimostrare la prima implicazione, l'ho svolta giusta e anche letta dal libro svolta è praticamente identica. Ma il "ritorno" mi blocco e il libro non è per nulla chiarificatore..
In sostanza dice per il viceversa:
Viceversa, sia $x = 0_v$ ; allora ${x}$ è un insieme libero (qui il primo dubbio: potrei avere un vettore x diverso da zero però costituito da generatori linearmente dipendenti, quindi in generale non mi par vero) in V e quindi per ipotesi anche
l’insieme $f(x)$ è un insieme libero. Pertanto $f(x)$ diverso da $0_w$ (anche qui dice che essendo un insieme libero è sicuramente diverso da 0 "x", ma perché? Io potrei avere il vettore nullo mettendo opportuni coefficienti a vettori lin. indip) ; da cui segue che necessariamente $ker f = 0_v$; quindi la tesi.
Proprio non riesco a raccapezzarmi
Si voleva in sostanza dimostrare che: "L’applicazione lineare $f : V -> W$ tra due spazi vettoriali V e W è
iniettiva se e solo se l’immagine di ogni insieme libero di V è un insieme libero di W"
Ho capito come dimostrare la prima implicazione, l'ho svolta giusta e anche letta dal libro svolta è praticamente identica. Ma il "ritorno" mi blocco e il libro non è per nulla chiarificatore..
In sostanza dice per il viceversa:
Viceversa, sia $x = 0_v$ ; allora ${x}$ è un insieme libero (qui il primo dubbio: potrei avere un vettore x diverso da zero però costituito da generatori linearmente dipendenti, quindi in generale non mi par vero) in V e quindi per ipotesi anche
l’insieme $f(x)$ è un insieme libero. Pertanto $f(x)$ diverso da $0_w$ (anche qui dice che essendo un insieme libero è sicuramente diverso da 0 "x", ma perché? Io potrei avere il vettore nullo mettendo opportuni coefficienti a vettori lin. indip) ; da cui segue che necessariamente $ker f = 0_v$; quindi la tesi.
Proprio non riesco a raccapezzarmi
Risposte
Per insieme libero intendi un sistema di vettori indipendenti?
Scusa ma sto provvedendo ad aggiustare un poco se internet permettesse 
Comunque sì
"anto_zoolander":
Per insieme libero intendi un sistema di vettori indipendenti?
Comunque sì
Mi viene difficile credere che il sistema ${0_V}$ sia indipendente, visto che $lambda*0_V=0_V$ comunque preso $lambda in K$
Se ti è noto che $f$ è iniettiva se e solo se $Ker(f)={0_V}$ allora puoi mostrare questo.
Se esistesse $v inKer(f):v ne 0_V$ allora si avrebbe che il sistema ${v}$ è indipendente ma il sistema ${f(v)}$ sarebbe dipendente poiché $f(v)=0_W$ contraddicendo le ipotesi.
Se ti è noto che $f$ è iniettiva se e solo se $Ker(f)={0_V}$ allora puoi mostrare questo.
Se esistesse $v inKer(f):v ne 0_V$ allora si avrebbe che il sistema ${v}$ è indipendente ma il sistema ${f(v)}$ sarebbe dipendente poiché $f(v)=0_W$ contraddicendo le ipotesi.
Cavolo ho pasticciato correggendo mi sa, lo riformulo. Scusami..
Il libro scrive così, ma proprio non capisco i passaggi logici.
Viceversa, sia $x ≠ 0_v$ ; allora ${x}$ è un insieme libero (qui il primo dubbio: potrei avere un vettore x diverso da zero però costituito da generatori linearmente dipendenti e opportuni coefficienti, quindi in generale non mi par vero) in $V$ e quindi per ipotesi anche
l’insieme ${f(x)}$ è un insieme libero. Pertanto $f(x) ≠ 0_w$ (anche qui dice che essendo un insieme libero è sicuramente diverso da 0 "f(x)", ma perché? Io potrei avere il vettore nullo mettendo opportuni coefficienti a vettori lin. indip) ; da cui segue che necessariamente $ker f = 0_v$; quindi f è iniettiva.
Ti ringrazio per le spiegazioni
Il libro scrive così, ma proprio non capisco i passaggi logici.
Viceversa, sia $x ≠ 0_v$ ; allora ${x}$ è un insieme libero (qui il primo dubbio: potrei avere un vettore x diverso da zero però costituito da generatori linearmente dipendenti e opportuni coefficienti, quindi in generale non mi par vero) in $V$ e quindi per ipotesi anche
l’insieme ${f(x)}$ è un insieme libero. Pertanto $f(x) ≠ 0_w$ (anche qui dice che essendo un insieme libero è sicuramente diverso da 0 "f(x)", ma perché? Io potrei avere il vettore nullo mettendo opportuni coefficienti a vettori lin. indip) ; da cui segue che necessariamente $ker f = 0_v$; quindi f è iniettiva.
Ti ringrazio per le spiegazioni
Ora va meglio. Allora quello che ho scritto comunque può rimanere, perché per assurdo si previene al risultato.
Volendo dimostrarlo per via diretta ti faccio notare che un un vettore non nullo è sempre linearmente indipendente
Questo risale dai primi assiomi di spazio vettoriale ovvero che l’uguaglianza $lambda * vec(v)=0_V$ è soddisfatta se $lambda=0_K$ oppure $v=0_V$
Quindi nel caso in cui $v ne 0_V$ l’equazione $lambda vec(v)=0_V$ è soddisfatta se e solo se $lambda=0_K$ e per definizione di indipendenza lineare, un vettore non nullo è sempre linearmente indipendente poiché lo scalare che lo accompagna deve essere nullo.
Tu ora devi dimostrare che ogni vettore non nullo non appartiene al nucleo e sappiamo già che il vettore nullo appartiene gratis al nucleo. Quindi è ovvio che lui consideri ${v}$ come sistema, perchè per prima cosa abbiamo visto che è un sistema necessariamente indipendente e per seconda cosa per ipotesi ${f(v)}$ nonché il sistema formato dalla sua immagine è un sistema indipendente, ma questo ce lo dicono le ipotesi! Noi deduciamo da bravi studenti che se un sistema formato da un solo vettore è indipendente, allora quel vettore non è il vettore nullo, per concludere che $v$ non sta in $Ker(f)$
Volendo dimostrarlo per via diretta ti faccio notare che un un vettore non nullo è sempre linearmente indipendente
Questo risale dai primi assiomi di spazio vettoriale ovvero che l’uguaglianza $lambda * vec(v)=0_V$ è soddisfatta se $lambda=0_K$ oppure $v=0_V$
Quindi nel caso in cui $v ne 0_V$ l’equazione $lambda vec(v)=0_V$ è soddisfatta se e solo se $lambda=0_K$ e per definizione di indipendenza lineare, un vettore non nullo è sempre linearmente indipendente poiché lo scalare che lo accompagna deve essere nullo.
Tu ora devi dimostrare che ogni vettore non nullo non appartiene al nucleo e sappiamo già che il vettore nullo appartiene gratis al nucleo. Quindi è ovvio che lui consideri ${v}$ come sistema, perchè per prima cosa abbiamo visto che è un sistema necessariamente indipendente e per seconda cosa per ipotesi ${f(v)}$ nonché il sistema formato dalla sua immagine è un sistema indipendente, ma questo ce lo dicono le ipotesi! Noi deduciamo da bravi studenti che se un sistema formato da un solo vettore è indipendente, allora quel vettore non è il vettore nullo, per concludere che $v$ non sta in $Ker(f)$
Grazie, avevo proprio capito malissimo, infatti pensavo dicesse che le componenti di x fossero indipendenti tra loro. In effetti considerava {x} insieme. Non so perché ma mi ero fissato in una interpretazione erronea. Tra l'altro non ci avevo pensato che "il vettore nullo appartiene gratis al nucleo", quindi in sostanza per esclusione rimane solo quello nell'insieme del kernel.
Mi restano tuttavia due punti poco chiari:
- Però lo vedo a livello intuitivo che "il vettore nullo appartiene gratis al nucleo", ma c'è un modo per mostrarlo in modo generale?
- Io mostro che l'insieme {x} libero non appartiene al nucleo, però mi pare di perdere in generalità (non devo dimostrare che un vettore non nullo non appartenga al nucleo ma che tutti gli insiemi di vettori indipendenti possibili non appartenga al nucleo), perché se prendessi l'insieme {x,z} la considerazione che f(x,y) è diverso da zero non funzionerebbe più, difatti non posso più affermare che se "un sistema formato da due vettori indipendenti, allora quel vettore non è il vettore nullo" (sarebbe un'affermazione priva di senso perché non ho più solo {x}) non posso quindi affermare che rimane solo lo zero vettoriale in ker f, e di conseguenza l'iniettività.
Mi pare una dimostrazione solo a un caso specifico..
Grazie ancora.
Mi restano tuttavia due punti poco chiari:
- Però lo vedo a livello intuitivo che "il vettore nullo appartiene gratis al nucleo", ma c'è un modo per mostrarlo in modo generale?
- Io mostro che l'insieme {x} libero non appartiene al nucleo, però mi pare di perdere in generalità (non devo dimostrare che un vettore non nullo non appartenga al nucleo ma che tutti gli insiemi di vettori indipendenti possibili non appartenga al nucleo), perché se prendessi l'insieme {x,z} la considerazione che f(x,y) è diverso da zero non funzionerebbe più, difatti non posso più affermare che se "un sistema formato da due vettori indipendenti, allora quel vettore non è il vettore nullo" (sarebbe un'affermazione priva di senso perché non ho più solo {x}) non posso quindi affermare che rimane solo lo zero vettoriale in ker f, e di conseguenza l'iniettività.
Mi pare una dimostrazione solo a un caso specifico..
Grazie ancora.
Certo, in due modi pure.
Sia $f:V->W$ applicazione lineare.
• poiché $f$ è lineare.
$f(0_V)=f(0_V)=f(0_V))+f(0_V)$
Poiché $f(0_V) inW$ puoi sommare membro a membro l’opposto, ottenendo:
$f(0_V)=0_W$
• poiché $f$ è additiva.
$f(0_V)=f(0_K*v)=0_K*f(0_V)=0_W$
Per la seconda cosa:
Ma perché ti fissi sul considerare sistemi con più vettori? Ti serve di mostrare che preso UN vettore, esso non appartiene al nucleo. Quindi se fissi una base ${e_1,..,e_n}$ sai che singolarmente quei vettori non appartengono al nucleo, pertanto OGNI vettore non vi apparterrà.
Sapresti dimostrare perché?
Sia $f:V->W$ applicazione lineare.
• poiché $f$ è lineare.
$f(0_V)=f(0_V)=f(0_V))+f(0_V)$
Poiché $f(0_V) inW$ puoi sommare membro a membro l’opposto, ottenendo:
$f(0_V)=0_W$
• poiché $f$ è additiva.
$f(0_V)=f(0_K*v)=0_K*f(0_V)=0_W$
Per la seconda cosa:
Ma perché ti fissi sul considerare sistemi con più vettori? Ti serve di mostrare che preso UN vettore, esso non appartiene al nucleo. Quindi se fissi una base ${e_1,..,e_n}$ sai che singolarmente quei vettori non appartengono al nucleo, pertanto OGNI vettore non vi apparterrà.
Sapresti dimostrare perché?
Grazie mi stai e state dando una grandissima mano... penso avrò da ragionarci per ore tra questa e l'altra discussione XD...
La cosa più grottesca è che tragicomicamente pur avendo dimostrato come dicevo in apertura di post l'implicazione poi mi è sorto un dubbio (un altro!) e così se volessi intervenire anche qui e lasciarmi del tutto sveglio stanotte ti ringrazierei moltissimo viewtopic.php?f=37&t=182088
Intanto ci ragiono su in quanto mi scrivevi qui..
La cosa più grottesca è che tragicomicamente pur avendo dimostrato come dicevo in apertura di post l'implicazione poi mi è sorto un dubbio (un altro!) e così se volessi intervenire anche qui e lasciarmi del tutto sveglio stanotte ti ringrazierei moltissimo viewtopic.php?f=37&t=182088
Intanto ci ragiono su in quanto mi scrivevi qui..
PS:
[quote=anto_zoolander]
$f(0_V)=f(0_K*v)=0_K*f(0_V)=0_W$
[\quote]
Sarebbe
$f(0_V)=f(0_K*v)=0_K*f(v)=0_W$? Errore di battitura, giusto?
[quote=anto_zoolander]
$f(0_V)=f(0_K*v)=0_K*f(0_V)=0_W$
[\quote]
Sarebbe
$f(0_V)=f(0_K*v)=0_K*f(v)=0_W$? Errore di battitura, giusto?
Esattamente, è un errore di battitura 
Cogliere gli errori altrui è un ottimo allenamento
Cogliere gli errori altrui è un ottimo allenamento
"anto_zoolander":
Per la seconda cosa:
Ma perché ti fissi sul considerare sistemi con più vettori? Ti serve di mostrare che preso UN vettore, esso non appartiene al nucleo. Quindi se fissi una base ${e_1,..,e_n}$ sai che singolarmente quei vettori non appartengono al nucleo, pertanto OGNI vettore non vi apparterrà.
Sapresti dimostrare perché?
E hai ragione, sono un asino!
Ho un sistema per ipotesi linearmente indipendente, quindi lo zero non vi appartiene (che è la cosa che mi interessa) perché poi da questo faccio tutte le deduzioni di cui sopra e arrivo a dire che una volta che le ipotesi sono verificate sicuramente è iniettiva.
Oh quando mi fisso è un casino, odio questa mia stupidità!
Grazie mille veramente, non sai che sollievo mi hai dato, almeno questo l'abbiamo risolto
Esattamente, è un errore di battitura
Cogliere gli errori altrui è un ottimo allenamento
Grazie per l'incitamento
, perché mi sto deprimendo non capendo cose così semplici...
Se aggiungi a un sistema il vettore nullo diventa magicamente dipendente, sempre.
Quindi in un sistema indipendente il vettore nullo non c’è mai.
Tranquillo ci siamo passati tutti, l’algebra lineare è difficile concettualmente e molto pignola ci vuole più fantasia per immaginare qualcosa, che nelle dimostrazioni.
Quindi in un sistema indipendente il vettore nullo non c’è mai.
Tranquillo ci siamo passati tutti, l’algebra lineare è difficile concettualmente e molto pignola ci vuole più fantasia per immaginare qualcosa, che nelle dimostrazioni.
"anto_zoolander":
Se aggiungi a un sistema il vettore nullo diventa magicamente dipendente, sempre.
Quindi in un sistema indipendente il vettore nullo non c’è mai.
Esattamente! Col ciao, ma ci sono arrivato!
Comunque non ti scoraggiare.
L’importante in matematica non è ‘imparare le dimostrazioni’ ma imparare a dimostrare, sapere come si dimostra un teorema.
L’importante in matematica non è ‘imparare le dimostrazioni’ ma imparare a dimostrare, sapere come si dimostra un teorema.
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