Determinare base, sottospazio vettoriali polinomi.
Buonasera,
In \(\displaystyle \mathbb{R}_3 [x] \) si considerino i polinomi:
\(\displaystyle \begin{cases} p_1(x)=3-x+x^2 \\ p_2(x)=x-x^2+2x^3 \\ p_3(x)= 2-x^2+x^3 \\ p_4(x)=x-2x^2+3x^3 \end{cases} \)
Verificare che l'insieme \(\displaystyle B=p_1(x),p_2(x),p_3(x),p_4(x) \) è una base di \(\displaystyle \mathbb{R}_3 [x] \) e determinare le componenti del polinomio \(\displaystyle p(x)=x-x^2 \) rispetto alla base \(\displaystyle B \).
Per confermare che \(\displaystyle B\) risulti una base, dobbiamo verificare che l'insieme \(\displaystyle B\) risulti
1 sottospazio generato
2 i suoi elementi siano linearmente indipendenti
Sia\(\displaystyle \) sottospazio generato dai polinomi.
Per la prima bisogna verificare che \(\displaystyle \mathbb{R}_3 [x]=\), cioè
\(\displaystyle \mathbb{R}_3[x] = ap_1(x)+bp_2(x)+cp_3(x)+dp_4(x)\), questo è vero, quindi la prima è soddisfatta.
Per la seconda si ha
\(\displaystyle 0= ap_1(x)+bp_2(x)+cp_3(x)+dp_4(x)\)
\(\displaystyle 0= 3a-ax+ax^2+bx-bx^2+2bx^3+2c-cx^2+cx^3+dx-2dx^2+3dx^3\)
\(\displaystyle 0= 3a+x(-a+b+d)+x^2(a-b-c-2d)+x^3(2b+c+3d)+2c\)
\(\displaystyle \begin{cases} 3a=0 \\ 2c=0 \\ -a+b+d=0 \\ a-b-c-2d=0 \\ 2b+c+3d=0 \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} a=0 \\ c=0 \\ b=-d \\ d-2d=0 \\ -2d+3d=0 \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} a=0 \\ b=0 \\ c=0 \\ d=0 \end{cases} \)
giusto ?
Invece per l'altra parte sono un po' bloccato
Cordiali saluti
In \(\displaystyle \mathbb{R}_3 [x] \) si considerino i polinomi:
\(\displaystyle \begin{cases} p_1(x)=3-x+x^2 \\ p_2(x)=x-x^2+2x^3 \\ p_3(x)= 2-x^2+x^3 \\ p_4(x)=x-2x^2+3x^3 \end{cases} \)
Verificare che l'insieme \(\displaystyle B=p_1(x),p_2(x),p_3(x),p_4(x) \) è una base di \(\displaystyle \mathbb{R}_3 [x] \) e determinare le componenti del polinomio \(\displaystyle p(x)=x-x^2 \) rispetto alla base \(\displaystyle B \).
Per confermare che \(\displaystyle B\) risulti una base, dobbiamo verificare che l'insieme \(\displaystyle B\) risulti
1 sottospazio generato
2 i suoi elementi siano linearmente indipendenti
Sia\(\displaystyle \) sottospazio generato dai polinomi.
Per la prima bisogna verificare che \(\displaystyle \mathbb{R}_3 [x]=\), cioè
\(\displaystyle \mathbb{R}_3[x] = ap_1(x)+bp_2(x)+cp_3(x)+dp_4(x)\), questo è vero, quindi la prima è soddisfatta.
Per la seconda si ha
\(\displaystyle 0= ap_1(x)+bp_2(x)+cp_3(x)+dp_4(x)\)
\(\displaystyle 0= 3a-ax+ax^2+bx-bx^2+2bx^3+2c-cx^2+cx^3+dx-2dx^2+3dx^3\)
\(\displaystyle 0= 3a+x(-a+b+d)+x^2(a-b-c-2d)+x^3(2b+c+3d)+2c\)
\(\displaystyle \begin{cases} 3a=0 \\ 2c=0 \\ -a+b+d=0 \\ a-b-c-2d=0 \\ 2b+c+3d=0 \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} a=0 \\ c=0 \\ b=-d \\ d-2d=0 \\ -2d+3d=0 \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} a=0 \\ b=0 \\ c=0 \\ d=0 \end{cases} \)
giusto ?
Invece per l'altra parte sono un po' bloccato
Cordiali saluti
Risposte
Non mi è chiaro come dimostri che è generatore. Io per semplificare i conti e alleggerire il procedimento userei l'isomorfismo canonico con $RR^(n+1)$ metterei i vettori come colonne di una matrice e ridurre i: se ha rango massimo è base.
Per il punto due usando ancora l'isomorfismo risolvi il sistema: $ v = a v_i $ dove i vettori con l'indice sono i vettori della base e quello senza l'indice è il vettore di cui vuoi conoscere le coordinate. Le incognite sono poi le nuove coordinate
Per il punto due usando ancora l'isomorfismo risolvi il sistema: $ v = a v_i $ dove i vettori con l'indice sono i vettori della base e quello senza l'indice è il vettore di cui vuoi conoscere le coordinate. Le incognite sono poi le nuove coordinate
Ciao,
questo esercizio si trova prima delle applicazioni lineari quindi tecnicamente non ne conosco ancora l'esistenza, però mi piace l'idea dovrei far fede a https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_duale
questo esercizio si trova prima delle applicazioni lineari quindi tecnicamente non ne conosco ancora l'esistenza, però mi piace l'idea dovrei far fede a https://it.wikipedia.org/wiki/Spazio_duale
Scrivi i polinomi come vettori di $RR^4$; ti viene una matrice 4x4. Trovane il nucleo. Se è zero, i vettori formavano una base.
Cosa c'entra lo spazio duale?
Cosa c'entra lo spazio duale?
Ciao,
leggendo questo
Comunque per dimostrarlo non ci sono altri metodi, perché come ho detto l'esercizio che ho pubblicato è in precedenza alle matrici e al rango.
Sul mio libro viene riportato la seguente osservazione:
Affinché una famiglia di generatori di \(\displaystyle W \), \(\displaystyle F \) deve soddisfare
1 ogni vettore di \(\displaystyle F \) deve appartenere a \(\displaystyle W \)
2 ogni vettore di \(\displaystyle W \) deve potersi esprimere come combinazione lineare di \(\displaystyle F \)
Ora adattando la precedente osservazione ottengo:
\(\displaystyle W=\mathbb{R_3} [x]\)
\(\displaystyle {F=B} \)
La 1 è ovvia, nel senso che ogni polinomio appartiene a \(\displaystyle \mathbb{R}_3[x] \)
Invece per la seconda dovrei risolvere:
Sia \(\displaystyle p(x) \in \mathbb{R}_3 [x] : p(x)= ax^3+bx^2+cx+d \)
\(\displaystyle p(x)=\alpha p_1(x)+\beta p_2(x)+\gamma p_3(x)+\phi p_4(x) \)
Dovrei procedere nel seguente modo
leggendo questo
"cooper":pensavo che volesse dire quello.
Io per semplificare i conti e alleggerire il procedimento userei l'isomorfismo canonico con $ RR^(n+1) $ metterei i vettori come colonne di una matrice e ridurre i: se ha rango massimo è base.
Comunque per dimostrarlo non ci sono altri metodi, perché come ho detto l'esercizio che ho pubblicato è in precedenza alle matrici e al rango.
Sul mio libro viene riportato la seguente osservazione:
Affinché una famiglia di generatori di \(\displaystyle W \), \(\displaystyle F \) deve soddisfare
1 ogni vettore di \(\displaystyle F \) deve appartenere a \(\displaystyle W \)
2 ogni vettore di \(\displaystyle W \) deve potersi esprimere come combinazione lineare di \(\displaystyle F \)
Ora adattando la precedente osservazione ottengo:
\(\displaystyle W=\mathbb{R_3} [x]\)
\(\displaystyle {F=B} \)
La 1 è ovvia, nel senso che ogni polinomio appartiene a \(\displaystyle \mathbb{R}_3[x] \)
Invece per la seconda dovrei risolvere:
Sia \(\displaystyle p(x) \in \mathbb{R}_3 [x] : p(x)= ax^3+bx^2+cx+d \)
\(\displaystyle p(x)=\alpha p_1(x)+\beta p_2(x)+\gamma p_3(x)+\phi p_4(x) \)
Dovrei procedere nel seguente modo
non ho capito praticamente niente d quello che hai scritto. 
prova a fare come ti ho detto, se non sai come prova ad imparare.
prova a fare come ti ho detto, se non sai come prova ad imparare.
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